Üçgenlerde Alan ve Benzerlik Sorusu

Merhaba Melisa, hadi bu güzel geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Elimizde ABC ve CED gibi iki eş dik üçgen var. Bu üçgenlerin eş olması, kenar uzunluklarının karşılıklı olarak aynı olduğu anlamına gelir. ABC üçgeninde kısa dik kenara a, uzun dik kenara b diyelim.

Şimdi C noktasında sabitlenmiş, on santimetre uzunluğunda bir çubuğumuz var. Bu çubuk sola döndüğünde hipotenüs üzerindeki K bir noktasına geliyor.

K bir noktasının B C kenarına olan uzaklığı altı santimetre olarak verilmiş. Bir noktanın bir doğruya uzaklığı dik uzaklıktır. Bu mesafe, K bir C çubuğunun izdüşümüdür.

K bir C ve B C arasındaki açıya alfa diyelim. Bu dik üçgende karşı kenar bölü hipotenüs bize sinüs alfayı verir.

Benzer şekilde çubuk sağa döndürüldüğünde K iki noktası C D üzerinde oluyor. K iki noktasının D E kenarına uzaklığı dokuz santimetre verilmiş.

C D ile D E arasındaki açıya beta diyelim. Bu durumda karşı kenar olan dokuzun, hipotenüs olan on birime oranı sinüs betayı verir.

Üçgenlerimiz eş olduğu için alfayı ve betayı ana üçgenlerimize yerleştirelim. ABC üçgeninde açımız alfa, CED üçgeninde ise yukarıdaki açımız betadır.

ABC dik üçgeninde sinüs alfa eşittir karşı dik kenar bölü hipotenüstür. Hipotenüse yani A C uzunluğuna x diyelim.

Aynı şekilde CED dik üçgeninde hipotenüs, eşlikten dolayı yine x olacaktır. Sinüs beta ise karşı bölü hipotenüsten C E bölü x olur.

Burada bir çelişki gibi görünebilir. Dikkat edelim, sinüs değerlerini dik uzaklıklardan bulduk. Karşı kenarlarımız bunlara orantılıdır. ABC üçgeninde b bölü x kosinüs alfadır.

Pisagor teoremini hatırlayalım. Bir dik üçgende sinüs kare ile kosinüs karenin toplamı her zaman bire eşittir. Fakat burada iki farklı açı üzerinden gittik.

Diğer tarafta CED üçgeninde CED açısı doksan eksi beta olduğundan, C E kenarı yani a uzunluğu x çarpı sinüs doksan eksi betadır.