Üçgenlerde Alan ve Açı İlişkisi
Yayınlanma:
29. Aşağıdaki şekilde ABC ve BDC üçgenleri verilmiştir.
$$2 \cdot |BD| = |AC| = 8 \text{ birim}, |AB| = 6 \text{ birim ve } 2 \cdot m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BDC})'\text{dir.}$$
Yukarıdaki şekilde sarı ve pembe renk ile boyalı olan bölgelerin alanları birbirine eşit olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu kaç birimdir?
A) 3 B) $\frac{7}{2}$ C) 4 D) $\frac{9}{2}$ E) 6
Soruda görsel içerik var: Bir üçgen çizimi var. ABC üçgeni içerisinde bir D noktası işaretlenmiş. AB kenarı 6 birim, BD kenarı 4 birim, AC kenarı 8 birim olarak işaretlenmiş. BD'nin uzunluğunun 4 birim olduğu $BD=4$ bağıntısından görülüyor. $BDC$ üçgeni sarı, $ABD$ üçgeni pembe ile boyanmış. A açısına $\alpha$ dersek, $BDC$ açısı $2\alpha$ olarak verilmiş. Şekil, bu değerlerin geometrik yerleşimini gösteriyor.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba babanen, bu güzel geometri sorusunu adım adım birlikte çözelim. İşlem kalabalığı olmaması için sorudaki üçgeni ekrana alıp verilen değerleri üzerine yazıyorum. Aradığımız DC uzunluğuna ilk olarak x diyelim.
Alan İlişkisi ve Sinüs Alan Teoremi
Sarı ve pembe alanlar eşitse, büyük ABC üçgeninin alanı, içerideki küçük BDC üçgeninin alanının tam olarak iki katına eşittir.
Bu eşitliği kullanmak için her iki üçgenin alanını sinüslü alan formülü ile yazalım. Önce büyük ABC üçgeninin alanı; bir bölü iki çarpı altı, çarpı sekiz, çarpı sinüs alfa şeklindedir.
Şimdi de iki katını alacağımız küçük üçgenin alanını, aynı formülle yazıyoruz. Burada ortak açımız iki alfa ve kenarlarımız dört ile x.
Bölü ikileri ve çarpımları sadeleştirirsek, eşitliğin sol tarafı yirmi dört sinüs alfa, sağ tarafı ise dört x çarpı sinüs iki alfa olur.
Sinüs iki alfayı yarım açı formülünü kullanarak, iki sinüs alfa çarpı kosinüs alfa şeklinde açıyoruz.
Alfa bir üçgenin iç açısı olduğu için sinüs değeri sıfır olamaz. Eşitliğin her iki tarafından sinüs alfaları gönül rahatlığıyla sadeleştirebiliriz.
Buradan ilk önemli bağıntımızı çıkarıyoruz: Kosinüs alfa değerimiz ortak çarpanla sadeleştiğinde üç bölü x'e eşittir. Bu sonucu yeşille vurgulayalım.
Elimizde kosinüs alfa var ama bilinmeyen x'i bulmak için ikinci bir eşitliğe daha ihtiyacımız var. Ortak olan BC kenarını bulmak için her iki üçgende ayrı ayrı kosinüs teoremini uygulayabiliriz.
Kosinüs Teoremi Uygulaması
Hesaplamaları yaptığımızda ABC üçgeni için bu uzunluğun karesi, yüz eksi doksan altı kosinüs alfa oluyor.
Şimdi de küçük BDC üçgeni için aynı BC kenarını baz alarak kosinüs teoremini yazalım.
Buradaki kosinüs iki alfayı da yarım açı formülüyle sadece kosinüs alfa cinsinden ifade edelim. Yani iki kosinüs kare alfa eksi bir yazalım.
Artık elimizde BC kareyi veren iki ayna denklem var ve biz az önce kosinüs alfanın üç bölü x olduğunu bulmuştuk. Şimdi bu değeri yerlerine koyalım.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
