Üçgenin Alanının Trigonometrik İfadesi
Yayınlanma:
A, O, B noktaları doğrusal olduklarına göre köşeleri şekildeki gibi çemberler üzerinde olan ABC üçgeninin alanının $\alpha$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\sin^2\alpha$
B) $2\cdot\cos^2\alpha$
C) $\cos^2\alpha$
D) $\sec^2\alpha$
E) $\tan^2\alpha$
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde merkezleri orijin (O) olan iki eşmerkezli çember görülmektedir. Küçük çemberin yarıçapı $r=1$ (birim çember), büyük çember ise daha geniş bir yarıçapa sahiptir. Y ekseni üzerinde $C(0,1)$ noktası küçük çember üzerindedir ve üçgenin bir köşesidir. $A, O, B$ noktaları orijinden geçen bir doğru üzerindedir. $OB$ yarıçapı x-ekseniyle saat yönünün tersinde $\alpha$ açısı yapmaktadır. $B$ noktası büyük çember üzerinde, $A$ noktası küçük çember üzerinde yer almaktadır. $A, B$ ve $C$ noktalarını birleştiren sarı renkli $ABC$ üçgeni gösterilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Melisa, trigonometri ve geometriyi birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim. İki eş merkezli çemberimiz ve bir ABC üçgenimiz var.
ABC Üçgeninin Alanı
Öncelikle birim çemberleri inceleyelim. Şekle göre içteki küçük çemberin yarıçapı 1, dıştaki büyük çemberin yarıçapı ise 2 birim gibi görünüyor ancak kesin değerlerini koordinatlarla bulalım.
A, O ve B noktaları doğrusal verilmiş. Bu, AB'nin orijinden geçen bir doğru parçası olduğunu söyler. B noktası büyük çember üzerinde ve pozitif bölgede alfa açısı yapıyor.
C noktası küçük çemberin y eksenini kestiği nokta olduğu için koordinatlarını sıfıra r şeklinde alabiliriz. Ancak şekilden birim çember ve yarıçapı 2 olan çember kombinasyonu olduğunu anlıyoruz.
A noktası, B'nin başlangıç noktasına göre simetriğidir çünkü A, O, B doğrusal ve A dıştaki çember üzerindedir. Yani A'nın koordinatları eksi B'dir.
Üçgenin alanını koordinatları bilinen üçgenin alan formülüyle veya taban çarpı yükseklik bölü iki ile bulabiliriz. İki üçgene bölerek düşünelim: AOC ve COB üçgenleri.
Alan Hesabı
Her iki üçgenin de ortak tabanı OC kenarıdır ve uzunluğu 1 birimdir.
Burada h bir ve h iki yükseklikleri, A ve B noktalarının y eksenine olan uzaklıklarıdır. Yani x koordinatlarının mutlak değeridir.
x A ve x B değerlerini yerine koyalım. A'nın x'i eksi iki kosinüs alfa olduğu için mutlak değeri iki kosinüs alfadır.
Çözümün devamı Solvi’de
9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
