Üçgenin Ağırlık Merkezi ve Benzerlik
Yayınlanma:
Şekil 1'de ABC dik üçgeni ile DEF ikizkenar üçgeni biçiminde iki karton verilmiştir. $[AB] \perp [AC]$, $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DEF})$, $|DE| = |DF| = 6$ birim. DEF üçgeni, ABC üçgeninin üzerine Şekil 2'deki gibi konulduğundan EF kenarı ile çakışmış ve D köşesi ABC üçgeninin ağırlık merkezi olmuştur. Şekil 2'de $|BE| = 8$ birim olduğuna göre, $|FC| = x$ kaç birimdir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Soruda görsel içerik var: Şekil 1'de iki ayrı üçgen gösterilmektedir: ABC dik üçgeni (A köşesi dik açı) ve DEF ikizkenar üçgeni (|DE|=|DF|=6). Şekil 2'de, DEF üçgeni ABC üçgeninin üzerine yerleştirilmiştir. D noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir ve EF kenarı BC kenarı üzerindedir. B, E, F, C noktaları doğrusaldır. |BE|=8, |FC|=x olarak verilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Zeynep! Bu harika geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak verilen şekilleri ve özellikleri inceleyelim.
Soru Analizi
Soruda, Şekil iki'de D noktasının ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğu belirtilmiş. Bir üçgende ağırlık merkezinin kenarlara olan uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin üçte biridir.
Ağırlık Merkezi ve Yükseklik İlişkisi
Şimdi, D noktasından BC tabanına ve A noktasından BC tabanına dikmeler indirelim. Bu dikmelerin uzunluklarını yazalım.
ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğuna c diyelim. B açısının ölçüsü beta olsun. Bu durumda A noktasının BC'ye olan uzaklığı, yani h_A, c çarpı sinüs beta olur.
Aynı şekilde, DEF ikizkenar üçgeninde, D köşesinden EF tabanına inen dikme yüksekliğimiz h_D'dir. DE kenarının uzunluğu altı birim ve E açısı beta olduğuna göre, h_D eşittir altı çarpı sinüs beta olur.
Ağırlık merkezi özelliğinden h_D'nin, h_A'nın üçte biri olduğunu biliyoruz. Bu iki ifadeyi birbirine oranlayalım.
Burada her iki taraftaki sinüs beta terimlerini sadeleştirirsek, c bölü üç eşittir altı elde ederiz.
Buradan c uzunluğunu, yani AB kenarının uzunluğunu on sekiz birim olarak buluruz. Bu harika bir başlangıç!
Şimdi çok şık bir yöntem kullanalım: İzdüşüm yöntemi. BC doğrusunu x ekseni olarak kabul edelim ve B noktasını başlangıç noktası, yani sıfır noktası yapalım.
İzdüşüm ve Koordinat Yöntemi
A noktasının BC üzerindeki dik izdüşümüne P noktası diyelim. AB uzunluğu on sekiz ve aradaki açı beta olduğundan, P noktasının koordinatı on sekiz çarpı kosinüs beta olur.
C noktasının koordinatı ise doğrudan üçgenin hipotenüs uzunluğu olan a'dır.
Ağırlık merkezi olan D noktasının x ekseni üzerindeki izdüşümü olan K noktası, köşelerin izdüşümlerinin aritmetik ortalamasıdır. Yani x_K eşittir sıfır artı x_P artı x_C bölü üç.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
