Üçgende Kenar Orta Dikme Sorusu

MathematicsGeometryZorYKS

Yayınlanma:

Soru

ABC üçgeninde, $[DE]$ ve $[FK]$ sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenar orta dikmeleridir. $|BD| = 3 \text{ cm}, |FC| = 5 \text{ cm}, m(\widehat{BAC}) = 135^{\circ}$ olduğuna göre, $|DF| = x$ kaç cm'dir?

A) 4 B) 5 C) $\sqrt{34}$ D) $\sqrt{37}$ E) $2\sqrt{10}$

Soruda görsel içerik var: Bir ABC üçgeni çizilmiş olup, AB kenarı üzerinde bir E noktası, AC kenarı üzerinde bir K noktası bulunmaktadır. [DE] ve [FK] sırasıyla AB ve AC kenarlarının orta dikmeleridir. E noktası AB'nin orta noktasıdır ve AE=EB'dir. K noktası AC'nin orta noktasıdır ve AK=KC'dir. A açısı 135 derecedir. BC kenarı üzerinde sırayla B, D, F, C noktaları bulunur. BD=3, DF=x ve FC=5 olarak verilmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba İla, bu geometri sorusunu adım adım çözelim.

Soruyu Anlama

Şekilde $DE$ ve $FK$, sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarlarının orta dikmeleridir.

$BD=3$, $FC=5$ ve $\angle BAC=135^\circ$ verilmiş. İstenen uzunluk $DF=x$.

2
Adım 2

Orta dikme üzerindeki her nokta, ilgili kenarın uç noktalarına eşit uzaklıktadır. Bu bilgi sorunun ana fikridir.

$$D\in \text{orta dikme}(AB) \Rightarrow DA=DB=3$$
$$F\in \text{orta dikme}(AC) \Rightarrow FA=FC=5$$
3
Adım 3

Yani D noktası A ve B'ye eşit uzaklıkta, F noktası ise A ve C'ye eşit uzaklıktadır.

Bu yüzden üçgende bazı kenarları doğrudan biliyoruz.

4
Adım 4

Şimdi çözümü daha sistematik yapmak için koordinat yöntemi kullanalım.

Koordinat Sistemi Kurulumu

$$A=(0,0)$$
$$B=(c,0)$$
$$C=\left(-\frac{b}{\sqrt2},\frac{b}{\sqrt2}\right)$$
5
Adım 5

Bu seçim sayesinde A açısı tam olarak yüz otuz beş derece olur.

$$\cos 135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$$
6
Adım 6

Şimdi BC doğrusu üzerindeki bir noktayı parametre ile yazalım.

$$P=(1-t)B+tC$$
7
Adım 7

Bu ifade, P noktası BC üzerinde ilerlerken tüm noktaları temsil eder.

Burada $t=0$ iken nokta B, $t=1$ iken nokta C olur.

8
Adım 8

Önce D noktası için eşit uzaklık koşulunu kullanalım.

D Noktası İçin Denklem

$$PD=PB$$
$$PA^2=PB^2$$
9
Adım 9

P yerine genel noktayı yazıp düzenlediğimizde sadeleşen denklem ortaya çıkar.

$$(1-t)^2c^2+t^2b^2-\sqrt2\,t(1-t)bc=t^2\left(b^2+c^2+\sqrt2 bc\right)$$
10
Adım 10

Benzer terimleri sadeleştirince çok daha basit bir ifade elde ederiz.

11
Adım 11

Buradan t parametresini yalnız bırakalım.

12
Adım 12

D noktası BC üzerinde olduğundan, B'den D'ye olan uzaklık t çarpı BC uzunluğudur.

$$BD=t\cdot BC$$
13
Adım 13

Verilen bilgiye göre B D uzunluğu üç santimetredir.

14
Adım 14

Şimdi aynı işlemi F noktası için yapalım.

F Noktası İçin Denklem

$$PF=PC$$
$$PA^2=PC^2$$

Çözümün devamı Solvi’de

13 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Geometry
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Üçgende Alan ve Kenar Uzunlukları Geometry · Orta Üçgende Benzerlik ve Öklid Bağıntıları Geometry · Orta Yamukta Katlama ve Ağırlık Merkezi Geometry · Zor Pergel ve Üçgen Ağırlık Merkezi Problemi Geometry · Zor Birim Küplerden Oluşan Yapının Görünümü Geometry · Orta Dörtgende uzunluk hesaplama Geometry · Zor

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir