Üçgende Katlama Problemi

MathematicsTriangle GeometryZorYKS

Yayınlanma:

Soru

36. Şekil 1'de ABC üçgeninde $m(\widehat{DBC}) = 2 \cdot m(\widehat{ABD})$ dir. ABD üçgensel bölgesi, $[AD]$ boyunca katlandığında A köşesi Şekil 2'deki gibi A' noktasına gelmektedir.

Şekil 2'de $|DE| = |EC|$, $|BE| = 6 \text{ cm}$, $|EA'| = 4 \text{ cm}$ olduğuna göre Şekil 1'de $|AC|$ kaç santimetredir?

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

Soruda görsel içerik var: İki şekilden oluşur. Şekil 1: Bir ABC üçgeni, B köşesinden D noktasına çizilen bir doğru ile ikiye bölünmüş. ABD bölgesi sarı renklidir. ABD açısı alpha, DBC açısı 2*alpha olarak gösterilmiştir. Şekil 2: Katlama sonrası oluşan durum. ABD üçgeni AD boyunca katlanmış, A noktası A' noktasına gelmiştir. BE doğru parçası BC üzerinde bir E noktası ile kesişmektedir. Verilen bilgiler: |DE| = |EC|, |BE| = 6 cm, |EA'| = 4 cm.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ceylan, bu harika geometri sorusunu birlikte adım adım çözülim. İlk olarak Şekil birdeki bilgileri ve katlama işlemini analiz edelim.

Katlama Geometrisi ve Analiz

2
Adım 2

A B D üçgeni, B D doğrusu boyunca katlandığında A noktası A üssü noktasına gelmektedir. Dolayısıyla, A B D üçgeni ile A üssü B D üçgeni tamamen eş üçgenlerdir.

Katlama Özellikleri

$$\triangle ABD \cong \triangle A'BD$$
$$|AB| = |A'B|, \quad |AD| = |A'D|$$
$$m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{A'BD}) = \alpha$$
3
Adım 3

Şekil birde D B C açısının ölçüsü iki alfa olarak verilmişti. B D boyunca katlama yaptığımızda, B A üssü doğrusu bu açının iç bölgesinde kalır ve A üssü B D açısının ölçüsü alfa olur.

$$m(\widehat{A'BC}) = m(\widehat{DBC}) - m(\widehat{A'BD}) = 2\alpha - α = \alpha$$
4
Adım 4

Buradan harika bir sonuç çıkar: B E doğrusu, D B C açısının iç açıortayıdır!

5
Adım 5

Şimdi yeni bir slaytta bu açıortay özelliğini kullanalım. D B C üçgeninde B E açıortay olduğuna göre, açıortay teoreminden kolların oranı tabandaki parçaların oranına eşittir.

Açıortay Teoremi ve İkizkenar Üçgen

$$\frac{|BD|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EC|}$$
6
Adım 6

Bize soruda D E uzunluğunun E C uzunluğuna eşit olduğu verilmiş. Bu oranı yerine yazarsak, B D uzunluğunun B C uzunluğuna eşit olduğunu buluruz.

$$|DE| = |EC| \implies \frac{|BD|}{|BC|} = 1 \implies |BD| = |BC|$$
7
Adım 7

Bu da bize D B C üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir. İkizkenar üçgende tabana ait açıortay, aynı zamanda yükseklik ve kenarortaydır. Dolayısıyla, B E doğrusu C D doğrusuna diktir.

$$BE \perp CD \implies m(\widehat{BED}) = m(\widehat{BEC}) = m(\widehat{A'ED}) = 90^\circ$$
8
Adım 8

Bu dikliği ve uzunlukları Şekil ikinin şeması üzerinde görelim. D E ve E C uzunluklarına ye diyelim.

BCDA'E64yy
9
Adım 9

Şimdi bu dik üçgenlerdeki trigonometrik ilişkileri kullanarak ye değerini bulalım. İlk olarak, B E D dik üçgeninde, D B E açısı alfa olduğu için, tanjant alfayı yazalım.

Tanjant ve Açı İlişkileri

$$\tan\alpha = \frac{|DE|}{|BE|} = \frac{y}{6}$$
10
Adım 10

Diğer taraftan, katlama özelliğinden dolayı B D A üssü açısı, B D A açısına eşittir ve bu açı doksan artı alfadır. Şekilde görebileceğimiz gibi bu açı, B D E ve A üssü D E açılarının toplamına eşittir.

$$m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{BDA}) = 90^\circ + \alpha$$
$$m(\widehat{BDA'}) = m(\widehat{BDE}) + m(\widehat{A'DE})$$
11
Adım 11

B E D dik üçgeninde B D E açısı doksan eksi alfadır. Bunu yerine koyduğumuzda, A üssü D E açısının iki alfaya eşit olduğunu buluruz.

$$90^\circ + \alpha = (90^\circ - \alpha) + m(\widehat{A'DE})$$
$$m(\widehat{A'DE}) = 2\alpha$$
12
Adım 12

Harika! Şimdi A üssü E D dik üçgeninde, iki alfanın tanjantını yazalım. Karşı bölü komşudan bu oran dört bölü ye olur.

$$\tan(2\alpha) = \frac{|EA'|}{|DE|} = \frac{4}{y}$$
13
Adım 13

Şimdi bu iki tanjant ilişkisini birleştirelim. Tanjant iki alfa için yarım açı formülünü yazıyoruz.

Yarım Açı Formülü ve Çözüm

$$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Triangle Geometry
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Üçgenlerde Benzerlik Problemi Triangle Geometry · Orta Üçgende Kenarortay Özelliği İspatı Triangle Geometry · Orta Üçgende Dış Açıortay İlişkisi Triangle Geometry · Orta Üçgende Kenarortay, Açıortay ve Yükseklik Triangle Geometry · Orta Üçgende Ağırlık Merkezi ve Benzerlik Triangle Geometry · Orta Üçgen Kenar Uzunluklarının Sıralanması Triangle Geometry · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir