Üçgende Benzerlik ve Oran Problemi

Merhaba Ecesu, bu güzel geometri sorusunu birlikte çözelim. Soruda paralellik ve oranlar verilmiş, bizden AE bölü EC oranı isteniyor.

İlk olarak soruda verilen bilgileri not edelim. AD doğrusu BC doğrusuna paralel. Üç çarpı AF uzunluğu FB uzunluğuna eşit olarak verilmiş. Bu durumda AF uzunluğuna k dersek, FB uzunluğu üç k olur.

Şimdi grafikte oluşan kelebek benzerliğine, yani kum saati şekline odaklanalım. ADF üçgeni ile BCF üçgeni birbirine benzerdir çünkü tabanlar paraleldir.

Gelin bu kelebek benzerliğini kullanarak kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi yazalım. AD bölü BC oranı, AF bölü FB oranına eşit olmalıydı. Ancak burada F noktası AB üzerinde, şekle bakınca kelebek benzerliği AD ve BC tabanları arasında F noktasında değil, bir başka noktada oluşuyor gibi duruyor. Dikkatli bakarsak, AD paraleldir BC bilgisiyle ADF ve BCF üçgenleri değil, ADC ve ABC yapıları arasında bir ilişki kuracağız.

Şekilde F noktası AD ve BC arasındaki kesişim noktasıdır. ADF ve BCF üçgenleri arasındaki benzerlik oranını bulalım. AD uzunluğu dokuz bölü iki, BC uzunluğu ise on iki birim.

Bu oranı sadeleştirelim. Dokuz bölü iki bölü on iki, dokuz bölü yirmi dört yapar. Üç ile sadeleştirirsek üç bölü sekiz oranını elde ederiz.

Bu benzerlik oranına göre, AF bölü FB oranı da üç bölü sekiz olmalıdır. Ancak soruda bize AF ve FB arasında farklı bir oran verilmişti. Sorudaki görselde F noktası AB doğrusu üzerinde değil, AC ve DE doğrularının kesişimi gibi görünüyor. Metni tekrar okuyalım: F elemanıdır AB diyor. Bu durumda bir çelişki var gibi görünse de, bizden istenen AE bölü EC oranı için temel benzerlik teoremini kullanmalıyız.

Şimdi resimdeki karalamalara bakarsak, AF'ye x, FB'ye üç x denmiş. Bu, F noktasının AB üzerinde olduğunu doğrular. Menelaus teoremi veya ek çizimle AE bölü EC'ye gidelim. D noktasından AC'ye paralel bir doğru çizmek yerine, kelebeği kullanalım.