Üçgende Alan ve Trigonometri İlişkisi

Merhaba Helinakhal, gel bu güzel geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak verilen şekli inceleyelim ve üzerindeki değerleri yerleştirelim.

A açısının ölçüsüne alfa diyelim. Bu durumda, soruda verilen bilgiye göre, B D C açısının ölçüsü iki alfa olacaktır.

Şimdi, üçgenlerin alanlarını sinüslü alan formülü yardımıyla yazalım. Öncelikle yeşil renkli bölgenin, yani B D C üçgeninin alanını hesaplayalım.

Burada verilen uzunlukları yerine koyduğumuzda, bir bölü iki çarpı iki çarpı altı çarpı sinüs iki alfa elde ederiz. Sadeleştirdiğimizde, bu alan altı sinüs iki alfa olur.

Benzer şekilde büyük A B C üçgeninin alanını da yazalım. Bu alan, bir bölü iki çarpı altı çarpı sekiz çarpı sinüs alfa olacaktır.

Soruda turuncu renkli bölgenin alanının, yeşil renkli bölgenin alanının üç katı olduğu belirtilmiş. Turuncu bölge, büyük üçgen ile yeşil üçgenin farkıdır.

Yani, büyük üçgenin alanı eksi yeşil bölgenin alanı, üç tane yeşil bölgenin alanına eşittir diyebiliriz.

Buradan, büyük A B C üçgeninin alanının, yeşil bölgenin alanının tam dört katı olduğunu buluruz.

Şimdi bulduğumuz alan ifadelerini bu eşitlikte yerine yazalım.

Sağ tarafı çarptığımızda yirmi dört sinüs iki alfa elde ederiz. Her iki tarafı yirmi dörde bölelim.

Böylece sinüs alfa eşittir sinüs iki alfa denklemini elde ederiz.