Üçgende Alan ve Ağırlık Merkezi

Merhaba Sibel, bu güzel geometri sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Soruda ABC üçgeninde G noktasının ağırlık merkezi olduğu verilmiş. Ağırlık merkezi, kenarortayların kesim noktasıdır.

Öncelikle üçgenimizi ve üzerindeki oranları çizerek başlayalım.

G ağırlık merkezi olduğu için, kenarortayı köşeden iki, kenardan bir oranında böler. Yani AG uzunluğu iki k ise, GE uzunluğu k kadardır.

Şimdi BD doğrusuna paralel olan EF doğrusunu çizelim.

ABC üçgeninde E noktası BC kenarının orta noktasıdır. EF, BD'ye paralel çekildiği için, EF doğrusu BDC üçgeninin orta tabanı olur.

Ayrıca D noktası da AC'nin orta noktası olduğu için, AD uzunluğu DC uzunluğuna eşittir. Bu durumda AD uzunluğu da iki birimden oluşur. Dolayısıyla m, m ve iki m şeklinde bir oran çıkar.

Şimdi benzerlikten yararlanarak alanları harflendirelim. AGE ve AEF üçgenleri arasındaki benzerliğe bakalım.

Hayır, EF ve GD paralelliğini kullanarak ADC üçgenindeki alanları dağıtalım. GDFE dörtgenini iki üçgene ayıralım: GDE ve DEF.

Paralellikten dolayı, AD ile DF arasındaki oran ikiye birdir. Tepe noktası E olan EAD ve EDF üçgenlerinin alanları tabanlarıyla orantılıdır.

E noktasını köşe kabul edersek, Alan E-D-F de se ise, Alan E-A-D iki se olur.