Üçgende Açıortay ve Benzerlik

Merhaba zeynep! Bu harika geometri sorusunu seninle birlikte adım adım ve çok kolay bir yöntemle çözelim.

Öncelikle soruda verilen şekli tahtamıza çizelim ve verilen bilgileri yerleştirelim. A B uzunluğu on, B D uzunluğu beş olarak verilmiş. A D ise A açısının açıortayıdır.

A B C dik üçgeninde, A D iç açıortay olduğu için, İç Açıortay Teoremini uygulayabiliriz.

Verilen değerleri formülde yerine yazarsak, C D bölü beş, A C bölü ona eşit olur. Buradan A C uzunluğunun, C D uzunluğunun iki katı olduğunu görürüz.

Kolaylık olması için C D uzunluğuna k dersek, A C uzunluğu iki k olur.

Şimdi A B C dik üçgeninde Pisagor Teoremini uygulayarak k değerini bulalım.

B C uzunluğu, B D artı C D olduğu için, beş artı k'ye eşittir. Değerleri denklemde yerine yazalım.

Bu ifadeyi açtığımızda, yüz eşittir dört k kare, artı k kare, artı on k, artı yirmi beş elde ederiz.

Denklemi düzenlersek, beş k kare, artı on k, eksi yetmiş beş eşittir sıfır olur. Her tarafı beşe böldüğümüzde ise k kare, artı iki k, eksi on beş eşittir sıfır denklemine ulaşırız.

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırsak, k artı beş çarpı k eksi üç eşittir sıfır buluruz. Uzunluk negatif olamayacağı için k değerini üç olarak elde ederiz.