Üçgen Katlama ve Alan Problemi

Merhaba Zozan, bu ilginç katlama ve özel üçgen sorusunu adım adım inceleyelim.

Sorudaki metne göre, başlangıçtaki A B C üçgeninin üç köşesinden katlamalar yapılmış ve ortada sadece küçük bir D E F üçgeni kalmış.

Katlanan dış parça üçgenlerin, hiçbir boşluk bırakmadan ve üst üste binmeden tam olarak ortadaki D E F üçgenini oluşturması matematiksel olarak tek bir anlama gelir.

Bu da köşelerdeki üçgenlerin ortadaki üçgenle birebir eş olduğu anlamına gelir. Hadi bunu bir çizim üzerinden gösterelim.

Bu durum ancak D, E ve F noktalarının büyük üçgenin kenar orta noktaları olmasıyla mümkündür. Yani, elimizdeki 4 küçük üçgen tamamen birbirinin aynısıdır.

Soruda çok özel bir koşul verilmiş: D E F üçgeni içerisinde herhangi bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları toplamı 6 santimetredir.

Viviani teoremine göre kapalı bir üçgen içinde her noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı hep aynıysa, o üçgen kesinlikle eşkenar üçgendir.

O halde oluşan bu küçük D E F üçgeni eşkenar olduğuna göre, büyük A B C üçgeni de eşkenar üçgendir. Katlanan tüm küçük üçgenler eşkenardır.

Şimdi içerideki küçük eşkenar üçgen olan D E F üzerine odaklanalım ve kenar uzunluğunu bulalım.

Viviani teoremindeki bahsi geçen bu 6 santimetrelik sabit toplam, aynı zamanda bu eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.

Bir kenarı 'a' olan eşkenar üçgenin yükseklik formülünü hatırlayalım: h eşittir a kök üç bölü iki.

Bildiğimiz yükseklik değeri olan 6'yı denklemde yerine koyalım.

İçler dışlar çarpımı yaparsak, a kök üç eşittir 12 sonucuna ulaşırız.