Üçgen Alanları ve Trigonometri

Selam gençler! Bugün Tarık öğretmenin sorduğu bu güzel geometri sorusunu birlikte çözeceğiz. Soruda verilenlere bir göz atalım.

Kayıtlı bilgimiz, kosinüs on beş eksi sinüs on beşin, kök iki bölü ikiye eşit olduğudur.

ABC bir eşkenar üçgen olarak verilmiş ve bir kenar uzunluğu bir birimdir. Bu durumda tüm kenarlar bir birimdir ve iç açılar altmışar derecedir.

Şekilde B D uzunluğunun, A C uzunluğuna eşit olduğu söylenmiş. Yani B D de bir birimdir.

Ayrıca D B C açısının on beş derece olduğu verilmiş.

Şimdi istenen taralı alanlar farkına odaklanalım. Taralı alanları A B E ve C E D üçgenleri olarak görüyoruz. Bu alanlara tek tek isim vermek yerine yardımcı bir alan kullanalım.

A B E alanına S bir, C E D alanına S iki diyelim. B E C üçgeninin alanına da A diyelim.

Soru bizden mutlak değer içinde S bir eksi S iki farkını istiyor.

Dikkat edersek, S bir artı A toplamı, A B C üçgeninin alanıdır.

Benzer şekilde, S iki artı A toplamı, B C D üçgeninin alanıdır.

Bu iki denklemi birbirinden çıkarırsak, A değerleri sadeleşecek ve tam da aradığımız alanlar farkını elde edeceğiz!

Yani farkımız, Alan A B C eksi Alan B C D şeklinde yazılabilir.

Şimdi bu alanları sinüs alan formülüyle hesaplayalım. Eşkenar üçgenin bir kenarı bir olduğu için alanı kök üç bölü dörttür. Veya sinüslü formülle yazalım.

Şimdi B C D üçgenine bakalım. Kenarlar B C eşittir bir ve B D eşittir bir birimdir. Aradaki açı ise on beş derecedir.