Türevlenebilirlik ve Süreklilik

Selam Zeynep, her noktada türevli olan mutlak değer fonksiyonu sorusuna birlikte bakalım.

Bize verilen f fonksiyonu, mutlak değer içinde ikinci dereceden bir ifade. Bu fonksiyonun tüm reel sayılarda türevli olması ne anlama gelir, önce bunu düşünelim.

Mutlak değer içerisindeki ifadenin kökü varsa ve bu kök tek katlıysa, o noktada fonksiyonun türevi yoktur çünkü grafik kırılma yapar. Her yerde türevli olması için içerideki ifadenin ya hiç kökü olmamalı ya da sadece çift katlı kökü olmalıdır.

İkinci dereceden ifademizin baş katsayısı pozitif olduğu için, ifadenin her zaman sıfırdan büyük veya eşit olmasını istiyoruz. Bu durum, diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasıyla mümkündür.

Hemen delta formülünü uygulayalım: b kare eksi dört a c. Burada b yerinde eksi iki a, c yerinde ise dört a artı üç var.

Kareyi alıp ifadeyi düzenlediğimizde; dört a kare eksi on altı a eksi on iki, küçük eşittir sıfır eşitsizliğini elde ederiz.

İşlemleri kolaylaştırmak için eşitsizliğin her iki tarafını dörde bölelim.