Türevlenebilir Parçalı Fonksiyon Sorusu

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda gerçek sayılar kümesinde türevlenebilir parçalı bir f fonksiyonu verilmiş ve bizden m çarpı n değeri isteniyor.

Bir fonksiyonun tüm gerçek sayılarda türevlenebilir olması için, özellikle kritik noktası olan x eşittir bir noktasında da türevlenebilir olması gerekir.

Türevlenebilirlik iki temel şartı gerektirir. Birincisi fonksiyonun o noktada sürekli olması, ikincisi ise o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin eşit olmasıdır. Öncelikle süreklilik şartını inceleyelim.

Sağdan limit ve fonksiyonun x eşittir birdeki değeri için x kare eksi üç kuralını kullanırız. Burada x yerine bir yazdığımızda birin karesi eksi üçten eksi iki elde ederiz.

Soldan limit için ise eksi x kare artı m x artı n kuralını kullanırız. Burada x yerine bir yazdığımızda eksi bir artı m artı n değerini buluruz.

Bu iki değerin birbirine eşit olması gerektiğinden, eksi bir artı m artı n eşittir eksi iki eşitliğini kurarız.

Eksi biri karşı tarafa artı bir olarak geçirdiğimizde, m artı n eşittir eksi bir denklemini elde ederiz. Bu bizim birinci denklemimiz olsun.

Şimdi ikinci şartımız olan türevlenebilirlik şartına geçelim. x eşittir bir noktasındaki sol türev ile sağ türev birbirine eşit olmalıdır.

Fonksiyonun parçalarının türevlerini alalım. x birden büyükken x kare eksi üçün türevi iki x olur.