Türevlenebilir Fonksiyonlarda Belirsiz İntegral

Merhaba babanen, beraber bu AYT matematik sorusuna bakalım. Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları verilmiş. Bizden g bir değeri isteniyor.

Elimizde f x'in bir integrale eşit olduğu bilgisi var. Önce bu integrali çözerek f fonksiyonunun genel kuralını bulmaya çalışalım.

İntegral içindeki ifadenin yapısı bize değişken değiştirme yöntemini anımsatıyor. g'nin içindeki iki bölü x ifadesine u diyelim.

Şimdi her iki tarafın diferansiyelini alalım. u'nun türevi d u, iki bölü x'in türevi ise eksi iki bölü x kare çarpı d x olur.

İntegralimizde bir bölü x kare d x çarpanı var. Bunu yalnız bırakmak için her tarafı eksi ikiye bölelim. Yani d u bölü eksi iki, d x bölü x kareye eşittir.

Şimdi bu değişkenleri integralde yerine koyalım. g türev u çarpı eksi bir bölü iki d u şeklinde bir ifade elde ederiz.

Sabit sayıyı integralin dışına çıkartalım ve g türev u'nun integralinin g u olduğunu hatırlayalım.

İntegrali alırsak, eksi bir bölü iki çarpı g u artı bir integral sabiti olan c gelir.

Şimdi değişkeni eski haline getirelim. u yerine iki bölü x yazıyoruz. f x eşittir eksi g iki bölü x bölü iki artı c sonucuna ulaştık.

Şimdi verilen değerleri kullanarak c sabitini ve istenen g bir değerini bulalım. Önce f bir eşittir eksi iki bilgisini kullanalım.