Türevi verilen f fonksiyonunun yerel minimum noktası
Yayınlanma:
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun türevi olan f' fonksiyonunun grafiği dik koordinat düzleminde çizildikten sonra yanlışlıkla x ekseni silinmiştir. f(x) < f(4) eşitsizliğini sağlayan 8 farklı doğal sayı vardır. Buna göre f fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisinin en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (9,10] B) (28/3, 10] C) (29/3, 10] D) (32/3, 11] E) (10,11]
Soruda görsel içerik var: Grafikte y-ekseni üzerinde 1 ve 2 değerleri işaretlenmiş, f'(x) fonksiyonu gösterilmiştir. x ekseni silinmiştir. Grafik, x ekseninin üzerinde bir noktada, y=1 seviyesinde bir boş nokta ile başlayıp sola doğru devam eden bir doğru parçası ve y=2 seviyesinde bir boş nokta ile başlayıp sağa doğru devam eden başka bir yatay doğru parçası içermektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Emre, seninle birlikte bu güzel türev ve integral sorusunu adım adım çözelim.
f Fonksiyonunun Analizi
Soruda gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiş ancak x ekseninin yeri tam belli değil. Grafikte türevin bir k noktasında bir değerinden iki değerine zıpladığını görüyoruz.
Burada $k$, türevin süreksiz olduğu apsis değeridir.
Sürekli bir f fonksiyonu için bu türev değerlerini integre ederek f fonksiyonunun kuralını bulabiliriz. x, k'dan küçükken türev bir ise, fonksiyonumuz x artı c bir sabiti şeklindedir.
f fonksiyonu sürekli olduğu için k noktasında sol ve sağ limitler birbirine eşit olmalıdır.
Soruda f x küçüktür f dört eşitsizliğini sağlayan sekiz farklı doğal sayı olduğu söylenmiş. Bu bilgiyi kullanarak k değerinin aralığını bulmaya çalışalım.
Eşitsizlik Analizi
Sağlayan doğal sayı adedi: 8
Öncelikle f dördün değerine bakalım. Dört noktası grafik üzerindeki x ekseninin durumuna göre değişir. Ancak fonksiyonun her yerde artan olduğunu görebiliyoruz çünkü türev daima pozitif, yani bir veya iki.
Daima artan bir fonksiyonda f x küçüktür f dört eşitsizliği, x küçüktür dört anlamına gelir.
Ancak burada kritik bir nokta var, türev grafiği yukarı ötelenmiş olabilir. Soruda x ekseni silinmiş deniyor. Grafiğe baktığımızda y değerleri bir ve iki olarak verilmiş. Bu, türevin daima pozitif olduğu ve fonksiyonun her yerde artan olduğu anlamına gelir.
Grafiğe göre türev değerleri 1 ve 2'dir. O halde x ekseni bu değerlerin altındadır.
Bir saniye, grafiğe tekrar bakalım. f üssü x grafiğinde y ekseni bir ve iki değerlerini gösteriyor. Eğer x ekseni bu çizgilerin altındaysa f her zaman artandır ve f x küçüktür f dört eşitsizliğini sadece sıfır, bir, iki ve üç doğal sayıları sağlar. Bu da toplam dört adet yapar.
Fakat soruda sekiz tane doğal sayı olduğu söylenmiş. Bu demek oluyor ki x ekseni aslında daha yukarıda bir yerdeydi ve f üssü fonksiyonu bazı yerlerde negatif değerler alıyor.
X Ekseni Tahmini
Grafikteki bir ve iki değerleri aslında y ekseni üzerindeki işaretli yerlerdir. x eksenini y eşittir a doğrusu olarak düşünürsek, türev değerlerimiz bir eksi a ve iki eksi a olur.
Yerel minimum olması için türevin işareti eksiden artıya geçmeli. Bu durumda bir eksi a negatif, iki eksi a ise pozitif olmalıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
