Türevi ve Teğet Doğrusu Kullanarak Fonksiyon Değerini Bulma

MathematicsDerivativesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

20. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde $f(x) = \sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}}$ fonksiyonunun $(1, b)$ noktasındaki teğet doğrusu $y = x - a$ olarak veriliyor. Buna göre $g(x) = \frac{f(x)}{x^2 + 1}$ biçiminde tanımlanan g fonksiyonu için $g'(a + b)$ değeri kaçtır? A) $-\frac{1}{2}$ B) $-\frac{2}{3}$ C) $\frac{1}{3}$ D) $\frac{1}{2}$ E) $\frac{3}{2}$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Elif, seninle birlikte bu harika AYT türev sorusunu adım adım çözelim.

AYT Matematik: Türev Sorusu

2
Adım 2

İlk olarak, f fonksiyonuna bir virgül be noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemine bakalım. Bu teğet doğrusu ye eşittir iks eksi a olarak verilmiş.

1. Adım: Teğet Doğrusunun Özellikleri

$$f(x) = \sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}}$$

Teğet noktası: $(1, b)$

Teğet doğrusu: $y = x - a$

3
Adım 3

Teğet noktası olan bir virgül be noktası, hem f fonksiyonunun grafiği üzerinde hem de teğet doğrusu üzerindedir. Dolayısıyla teğet doğrusu denkleminde iks yerine bir yazdığımızda ye değeri be olmalıdır.

$$b = 1 - a$$
4
Adım 4

Buradan, a artı be toplamının bire eşit olduğunu kolayca buluruz. Bu bilgi cepte dursun, çünkü bizden istenen g nin türevinde a artı be değeri, yani g nin türevinde bir değeridir.

5
Adım 5

Şimdi, f fonksiyonunun bir noktasındaki türevinin, o noktadaki teğet doğrusunun eğimine eşit olduğunu hatırlayalım.

2. Adım: Türev ve Teğetin Eğimi İlişkisi

$$f'(1) = m_{\text{teğet}}$$
6
Adım 6

Teğet doğrumuz ye eşittir iks eksi a biçiminde olduğundan, iksin katsayısı olan eğim, yani em teğet bir değerine eşittir.

$$m_{\text{teğet}} = 1$$
7
Adım 7

Öyleyse, f nin türevinde bir değeri de bire eşit olmalıdır.

$$f'(1) = 1$$
8
Adım 8

Bu sonucu daha sonra kullanmak üzere yeşil kutu içine alalım.

9
Adım 9

Şimdi a değerini bulabilmek için f fonksiyonunun türevini hesaplayalım. Fonksiyonu daha kolay türev alabilmek için üslü ifade şeklinde yazalım.

3. Adım: a Değerini Bulma

$$f(x) = x^{\frac{1}{2}} - a \cdot x^{-\frac{1}{2}}$$
10
Adım 10

Üsleri başa katsayı olarak indirip üssü bir azaltarak türev alalım. Böylece f nin türevi iks ifadesini elde ederiz.

$$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - a \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}$$
11
Adım 11

Bu ifadeyi düzenlediğimizde, bir bölü iki karekök iks artı a bölü iki iks karekök iks elde ederiz.

Çözümün devamı Solvi’de

11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Derivatives
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Küre Hacim Değişim Hızı Derivatives · Orta Türevin Değerini Bulma Derivatives · Orta Parabole Teğet Denklemi Derivatives · Orta Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir f fonksiyonu Derivatives · Orta Türev ve Teğet Doğrusu Problemi Derivatives · Orta Rasyonel Fonksiyon Türevi Derivatives · Kolay

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir