Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir f fonksiyonu

Merhaba arkadaşlar! Bu videoda gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu ile ilgili verilen türev ilişkisini içeren sorumuzu adım adım çözeceğiz.

Soruda bize iki adet eşitlik verilmiş. İlki, f x ile f'in türevinin çarpımının dört x küp artı dört x olduğudur. İkincisi ise, f sıfır ile f iki değerlerinin toplamının sekiz olduğudur.

f x çarpı f'in türevi ifadesini gördüğümüzde aklımıza hemen integral almak gelmelidir. Çünkü bu ifade, f kare x bölü iki ifadesinin türevidir. O halde her iki tarafın integralini alalım.

Sol tarafın integrali, f kare x bölü iki olarak dışarı çıkar.

Sağ taraftaki integralde, dört x küpün integrali x üzeri dört, dört x'in integrali ise iki x karedir. Tabii bir de integral sabiti olan C'yi ekliyoruz.

Denklemin her iki tarafını iki ile çarparak f kare x ifadesini yalnız bırakalım. Buradan f kare x eşittir iki x üzeri dört artı dört x kare artı iki C elde ederiz. Kolaylık olsun diye iki C yerine büyük K yazalım.

Şimdi bulduğumuz bu genel denklemde, soruda verilen f sıfır ve f iki değerlerini kullanabilmek için x yerine sıfır ve iki yazalım.

Öncelikle x yerine sıfır yazalım. Buradan f kare sıfır, doğrudan K değerine eşit olur.