Türevi tanımlı olan fonksiyon için a parametresinin değer aralığı

Merhaba Jennie, bu soruda bize verilen fonksiyonun her gerçek sayı değeri için türevli olduğu söylenmiş. Bu bilgiyi kullanarak a parametresinin kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bulalım.

Öncelikle elimizdeki fonksiyonun kareköklü bir ifade olduğunu görüyoruz. Bu tür bir fonksiyonun türevini düşünelim.

Bir fonksiyonun türevli olabilmesi için türevli olduğu noktada tanımlı olması gerekir. Burada dikkat etmemiz gereken iki kritik nokta var.

Birincisi, karekökün içi sıfırdan küçük olamaz. Çünkü o zaman fonksiyonun kendisi tanımlı olmaz. İkincisi ve daha önemlisi, türev fonksiyonunda payda sıfır olamaz.

Yani türevin her x için mevcut olması demek, karekökün içinin yani x kare eksi a x artı dört ifadesinin her zaman sıfırdan kesinlikle büyük olması demektir.

Neden büyük eşittir demedik? Çünkü eğer kök içi sıfır olursa, türevin paydası sıfır olur ve türev tanımsız hale gelir.

Şimdi bu eşitsizliğin her x gerçek sayısı için sağlanması şartını inceleyelim. Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir.

Baş katsayımız olan bir, zaten sıfırdan büyüktür. Bu parabolün kollarının yukarı doğru olduğu anlamına gelir. Parabolün daima pozitif kalması için x eksenini hiç kesmemesi gerekir.

Matematiksel olarak bu, denklemin diskriminantının yani deltasının sıfırdan küçük olması gerektiği anlamına gelir.