Türevi Alınabilir Tek Fonksiyon Sorusu

Merhaba Ali, bu soruyu seninle birlikte çözelim. Sorumuzda gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir tek bir f fonksiyonu verilmiş ve g nin türevinde eksi bir değeri soruluyor.

İlk olarak f fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu kullanalım. Tek fonksiyonların tanımı gereği, f eksi x, eksi f x'e eşittir.

Bize soruda f bir değeri eksi iki olarak verilmiş. Bu durumda f eksi bir değerini bulmak için x yerine bir yazarsak, f eksi bir, eksi f bir'e eşit olur.

Buradan f bir yerine eksi iki yazdığımızda, f eksi bir değerini eksi carpii eksi ikiden, artı iki olarak elde ederiz.

Şimdi de tek fonksiyonun türevini inceleyelim. f eksi x eşittir eksi f x eşitliğinin her iki tarafının türevini alırsak, türevin zincir kuralından dolayı f nin türevi eksi x carpii eksi bir, eksi f nin türevi x'e eşit olur.

Her iki tarafı eksi bir ile çarptığımızda, f nin türevi eksi x eşittir f nin türevi x buluruz. Yani tek fonksiyonun türevi bir çift fonksiyondur.

Bize soruda f'nin türevi bir değeri de eksi iki olarak verilmişti. Çift fonksiyon özelliğinden dolayı, f nin türevi eksi bir değeri de f nin türevi bir değerine, yani eksi ikiye eşit olacaktır.

Şimdi elde ettiğimiz bu değerleri bir kenara not edelim ve g fonksiyonunun türevine geçelim.

g x fonksiyonu, x carpii f nin küpü x olarak tanımlanmış. Burada çarpımın türevi kuralını uygulayalım.