Türev ve Ters Fonksiyon İlişkisi

Question

9. Uygun koşullarda, $y = x^2$ fonksiyonunun tersi $x = \sqrt{y}$ dir. 
Buna göre, 
I. $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ 
II. $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}$ 
III. $\dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dy} = 1$ 
ifadelerinden hangileri doğrudur? 
A) Yalnız I 
B) Yalnız II 
C) I ve II 
D) I ve III 
E) I, II ve III

Solvi · Accepted Answer

Selamlar. Bu soruda türev ve ters fonksiyon ilişkisini inceliyoruz. Bize y eşittir x kare fonksiyonu ve bu fonksiyonun tersi olan x eşittir y üzeri bir bölü iki ifadesi verilmiş. Şimdi birinci öncülü kontrol edelim. y'nin x'e göre türevini, yani dy bölü dx'i bulmamız isteniyor. y eşittir x kare ifadesinin türevini aldığımızda, kuvvet olan iki başa gelir ve kuvvet bir azalır. Gördüğünüz gibi, birinci öncülde verilen ifade tam olarak buna eşittir. Bu yüzden birinci öncül doğrudur. İkinci öncüle geçelim. Burada x'in y'ye göre türevini, yani dx bölü dy'yi bulmalıyız. Elimizdeki ters fonksiyon ifadesini kullanalım. x eşittir y üzeri bir bölü iki ifadesinin y'ye göre türevini alırken, kuvvet olan bir bölü ikiyi başa indiriyoruz ve y'nin kuvvetini bir eksiltiyoruz. Negatif kuvveti paydaya aldığımızda bu ifade bir bölü iki carpi y üzeri bir bölü iki olur.

Türev ve Ters Fonksiyon İlişkisi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm