Türev ve Fonksiyon Grafiği Analizi
Yayınlanma:
1. a bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılarda türevlenebilir f fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı şekildeki dik koordin düzleminde verilmiştir.
f fonksiyonu için $f(x) = f'(x) = 0$ eşitliği sağlayan tek x değeri 8 olduğuna göre
I. $f'(1) \cdot f'(11) < 0$
II. $f'(5) \cdot f'(9) < 0$
III. $f'(3) \cdot f'(6) > 0$
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) Yalnız II
D) II ve III
E) I ve III
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, orijinden başlayan ve dalgalı bir yapıya sahip olan $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte $x$-ekseni üzerinde belirli noktalar işaretlenmiştir: $a$, $a+2$, $4a$, $5a$ ve $7a$. $a$ noktasında yerel minimum, $a+2$ noktasında yerel maksimum, $4a$ noktasında yerel minimum ve $5a$ noktasında yerel maksimum noktaları bulunmaktadır. Bu noktalar kesikli çizgilerle $x$-eksenine bağlanmıştır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ege, seninle birlikte bu güzel türev sorusunu çözelim. İlk olarak soruda bize verilen grafiği ve önemli bilgiyi inceleyelim.
Türev ve Grafik Analizi
Soruda bize, f fonksiyonunun kendisinin ve türevinin aynı anda sıfır olduğu tek x değerinin sekiz olduğu söylenmiş. Bu eşitliği matematiksel olarak yazalım.
Bir fonksiyonun hem değerinin hem de türevinin sıfır olması demek, o noktada grafiğin x eksenine teğet olması demektir. Grafiğe baktığımızda, x eksenine teğet olan yerel minimum noktasının dört a olduğunu görüyoruz.
Bu durumda, dört a değeri sekize eşit olmalıdır. Buradan a değerini iki olarak buluruz.
Harika! Şimdi bulduğumuz a değerini kullanarak grafikteki tüm kritik x değerlerini sayısal olarak güncelleyelim.
Şimdi de bulduğumuz bu kritik noktalara göre, f fonksiyonunun türevinin işaret tablosunu oluşturalım.
Türevin İşaretleri
- x < 2 için fonksiyon azalan, yani f'(x) < 0
- 2 < x < 4 için fonksiyon artan, yani f'(x) > 0
- 4 < x < 8 için fonksiyon azalan, yani f'(x) < 0
- 8 < x < 10 için fonksiyon artan, yani f'(x) > 0
- x > 10 için fonksiyon azalan, yani f'(x) < 0
Harika! Bu tablo, her bir x değeri için türevin işaretini kolayca bulmamızı sağlayacak.
Şimdi birinci öncülü birlikte inceleyelim. f üssü bir çarpı f üssü on bir değerinin sıfırdan küçük olduğu iddia ediliyor.
Öncül I
Bir değeri, ikiden küçük bir değerdir. Tablomuza göre bu aralıkta türev negatiftir. Dolayısıyla, f üssü bir sıfırdan küçüktür.
On bir değeri ise ondan büyüktür. Bu aralıkta da fonksiyon azalandır ve türev negatiftir. Yani, f üssü on bir de sıfırdan küçüktür.
İki negatif değerin çarpımı pozitif olacağından, bu çarpım sıfırdan büyüktür. Bu yüzden birinci öncül yanlıştır.
Bu yanlışlığı vurgulamak için sonucumuzu kırmızı ile işaretleyelim.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
