Türev ve Teğet Eğimi
Yayınlanma:
Aşağıdaki grafikte $y = g(x)$ ve $y = f(x)$ eğrileri, sırasıyla $x = -2$ ve $x = 4$ apsisli noktalarında d doğrusuna teğettir.
$$h(x) = f^2(2 - x) + x \cdot g(x)$$
olduğuna göre, $h'(-2)$ kaçtır?
A) 1 B) 0 C) $\frac{7}{3}$ D) $\frac{10}{3}$ E) $\frac{1}{3}$
Soruda görsel içerik var: Bir kartezyen koordinat sistemi üzerinde iki eğri ve bunlara teğet bir 'd' doğrusu bulunmaktadır. $y = g(x)$ eğrisi $x = -2$ noktasında, $y = f(x)$ eğrisi ise $x = 4$ noktasında ortak olan mavi renkli 'd' doğrusuna teğettir. Grafik x-ekseni ve y-eksenini içerir. d doğrusu y-eksenini pozitif bir değerde kesmektedir. $g(-2)$ noktasının y değeri 6 olarak belirtilmiştir. $f(4)$ noktasının y değeri ise -2 olarak belirtilmiştir. x = -2 ve x = 4 noktaları düşey kesikli çizgilerle, y = 6 ve y = -2 noktaları yatay kesikli çizgilerle gösterilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Bu soruda, grafikte verilen teğet bilgilerini kullanarak h fonksiyonunun türevinin eksi iki noktasındaki değerini bulacağız.
Türevin Geometrik Yorumu
Öncelikle d doğrusunun eğimini bulmalıyız. Bu doğru, g egrisine eksi iki noktasında, f egrisine ise dört noktasında teğet.
Doğru üzerindeki noktalarımızı görelim. x eşittir eksi iki için y değerini bilmiyoruz ama x eksenini kestiği nokta ve dörtteki değeri görebiliyoruz. Aslında d doğrusu sıfır virgül üç noktasından da geçiyor gibi görünüyor ama daha kesin noktaları kullanalım. Grafik üzerindeki tepe noktası ve diğer teğet noktası arasındaki eğimden d'nin eğimi sabit olacaktır.
Grafikte y eksenini üç noktasında kestiğini varsayarak eğimi bulalım. h'yi hesaplamak için h türev x fonksiyonunu yazalım. Bileşke fonksiyon ve çarpım türevi kuralını uygulayacağız.
Şimdi bizden h türev eksi iki isteniyor. Fonksiyonda x yerine eksi iki koyalım.
Grafikten değerleri okuyalım. f'nin dörtteki değeri eksi ikiye eşittir. g'nin eksi ikideki değerine bakalım, o değer y ekseni üzerindeki altı ile orantılı. d doğrusunun denklemini kurmalıyız.
Doğru denklemi: d doğrusu (4, -2) noktasından geçiyor.
Grafikteki üçgenlere bakarsak, d doğrusu y eksenini altı ile sıfır arasında bir yerde kesiyor. y eksenini iki noktasında kesiyor gibi görünüyor. Eğim için iki noktayı kullanalım: (4, -2) ve (-2, y_g). Doğrunun eğimi sabit olduğundan m eşittir eksi bir bölü dört gibi duruyor.
Daha net bir yaklaşım için grafiğe tekrar bakalım. d doğrusu x eşittir bir noktasında x eksenini kesiyor gibi duruyor. (1, 0) ve (4, -2) noktalarını kullanırsak eğim m eşittir eksi iki bölü üç olur.
Verileri Belirleyelim
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
