Türev ve Teğet Eğimi

Question

12. $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ gerçel sayılarda türevlenebilir iki fonksiyon, $a, b$ ve $c$ birer gerçel sayı olmak üzere, $$f(x) = bx^2 - 3ax + 1$$ $$g(x) = 3cx^2 + 4bx$$ fonksiyonları veriliyor. $x = 1$ noktasında $y = f(x)$ eğrisine teğet olan doğrunun $x$ ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı $\alpha^\circ$, $y = g(x)$ eğrisine teğet olan doğrunun $x$ ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı da $\beta^\circ$dir. $\alpha^\circ < 90^\circ < eta^\circ$ olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) $a - b < 0$ B) $b \cdot c > 0$ C) $b < a < c$ D) $a + c < 0$ E) $3a - 2ab > 0$

Solvi · Accepted Answer

Selamlar! Bugün türev ve eğim ilişkisini kullanarak katsayılar arasındaki bağlantıları bulacağımız bir AYT sorusu çözeceğiz. Öncelikle temel bilgimizi hatırlayalım: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türevine eşittir. Ayrıca bu eğim, teğetin x ekseni ile yaptığı açının tanjantıdır. Bize alfa açısının dar açı, beta açısının ise geniş açı olduğu verilmiş. Bu durum eğimlerin işaretlerini belirlememizi sağlar. Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı ise negatiftir. Yani m f pozitif, m g negatiftir. Şimdi f fonksiyonunun x eşittir 1 noktasındaki türevini hesaplayalım. Türev aldığımızda iki b x eksi üç a ifadesine ulaşırız. x yerine 1 yazarsak, eğimimiz iki b eksi üç a olur. Bu değerin sıfırdan büyük olması gerektiğini biliyoruz. Buradan üç a küçüktür iki b sonucuna ulaşırız. Sıra g fonksiyonunda. Yine x eşittir 1 noktasındaki türevine bakalım.

Türev ve Teğet Eğimi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm