Türev ve Fonksiyon Grafikleri
Yayınlanma:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun dik koordinat düzlemindeki grafiği ile bu grafiğe sırasıyla $A(2, f(2))$ ve $B(-1, f(-1))$ noktalarında teğet olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları aşağıda verilmiştir.
m ve n birer gerçel sayı olmak üzere x-ekseni üzerinde kesişen $d_1$ ve $d_2$ doğrularının denklemleri
$d_1 : y = nx + m$
$d_2 : y = mx + 9n$
şeklinde veriliyor.
Buna göre $g(x) = x^2 \cdot f(x)$ şeklinde tanımlanan g fonksiyonu için
$$\frac{g'(-1)}{g'(2)}$$
ifadesinin değeri kaçtır?
A) $-\frac{9}{8}$ B) $-\frac{3}{4}$ C) $-\frac{1}{2}$ D) $-\frac{3}{8}$ E) $-\frac{1}{4}$
Soruda görsel içerik var: Koordinat sisteminde tanımlı kırmızı bir f(x) eğrisi, bu eğriye x=-1 noktasında teğet olan yeşil d2 doğrusu ve x=2 noktasında teğet olan mavi d1 doğrusu gösterilmiştir. d1 ve d2 doğruları x ekseni üzerinde aynı noktada kesişmektedir. A(2, f(2)) ve B(-1, f(-1)) noktaları işaretlenmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceren, hadi bu türev sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Teğet Doğruları
Analizimize d bir doğrusu ile başlayalım. Bu doğru y eşittir n x artı m denklemiyle verilmiş ve f fonksiyonuna x eşittir iki noktasında teğet. Doğrunun eğimi olan n, fonksiyonun x eşittir ikideki türevini verir.
Ayrıca teğet noktası bu doğrunun üzerinde yer aldığı için, denklemde x yerine iki koyduğumuzda f iki değerini, yani iki n artı m değerini elde ederiz.
Şimdi d iki doğrusuna bakalım. Denklemi y eşittir m x artı dokuz n. Grafiğe göre x eşittir eksi bir noktasında teğet. Benzer mantıkla, d iki doğrusunun eğimi m, fonksiyonun x eşittir eksi birdeki türevidir.
Teğet olan eksi bir noktası doğruyu sağlar. Denkleme koyarsak f eksi bir de eksi m artı dokuz n çıkar.
Soruda iki doğrunun x ekseni üzerinde kesiştiği verilmiş. Bu, teğet denklemlerinde y yerine sıfır yazdığımızda bulacağımız x değerlerinin birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
x-ekseni Üzerinde Kesişim
İki denklemde de y'yi sıfıra eşitleyip bulduğumuz x ifadelerini eşitleyelim: eksi m bölü n eşittir eksi dokuz n bölü m olur.
İçler dışlar çarpımı yaparsak, m kare dokuz n kareye eşit çıkar.
Buradan m ya üç n'dir, ya da eksi üç n'dir. Grafiğe baktığımızda her iki doğrunun da yukarıya doğru gittiğini yani eğimlerinin pozitif olduğunu görüyoruz. Bu sebeple m değeri üç n olmalıdır.
Şimdi bulduğumuz m değeriyle, teğet noktalarındaki fonksiyon ve türev değerlerini baştan n cinsinden ifade edelim.
f(x) İçin Bulunan Değerler
Artık bize verilen g x fonksiyonunun türevine geçiş yapabiliriz.
g(x) Fonksiyonunun Türevi
Burada iki fonksiyonun çarpımı olduğu için çarpım kuralını uyguluyoruz. Birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi.
Bize sorulan ifadedeki pay kısmı olan g üssü eksi biri bulmak için x gördüğümüz yerlere eksi bir yazalım.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
