Türev ve Alan İlişkisi Problemi
Yayınlanma:
20. Dik koordinat düzleminde, pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve pozitif değerler alan türevlenebilir bir f fonksiyonunun grafiği şekilde gösterilmiştir. Bir g fonksiyonu; her x pozitif gerçel sayısındaki değeri, köşeleri $(0, 0)$, $(x, 0)$ ve $(x, f(x))$ noktaları olan dik üçgenin alanına eşit olacak biçimde tanımlanmaktadır.
$f(3) = 1$
$f'(3) = 7$
olduğuna göre, $g'(3)$ değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 11
Soruda görsel içerik var: Bir dik koordinat düzleminde $y=f(x)$ eğrisi gösterilmiştir. Orijinden başlayan bir dik üçgenin köşeleri $(0,0)$, $(x,0)$ ve $(x, f(x))$ noktalarıdır. Bu dik üçgenin alanı $g(x)$ olarak tanımlanmıştır ve üçgenin alanı turuncu renkle boyanmıştır.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Boran, seninle birlikte bu güzel türev sorusunu çözelim. Soruda koordinat düzleminde bir f fonksiyonunun grafiği verilmiş ve g fonksiyonu bu grafiğin altında kalan dik üçgenin alanı olarak tanımlanmış.
Problem Tanımı
Öncelikle grafiği ve g fonksiyonunun tanımını inceleyelim. Dik üçgenin köşeleri sırasıyla orijin, x'e sıfır noktası ve eğri üzerindeki x'e f x noktasıdır.
g(x) Fonksiyonunu Tanımlamak
Buradan görüyoruz ki, dik üçgenin dik kenarlarından biri x birim, diğeri ise eğrinin yüksekliği yani f x birimdir. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
Bize g'nin türevinin üçteki değeri soruluyor. O halde g fonksiyonunun türevini almalıyız.
Türev alırken paydadaki bir bölü iki sabit sayısını dışarıda tutabiliriz ve çarpımın türevi kuralını uygulayabiliriz.
Çarpımın türevi kuralına göre, birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci şeklinde yazıyoruz.
Buradan türev ifademizi g'nin türevi x eşittir f x artı x çarpı f'in türevi x bölü iki şeklinde daha derli toplu yazabiliriz.
Şimdi elde ettiğimiz türev denkleminde x yerine üç yazarak ilerleyelim.
Türevin Değerini Hesaplama
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
