Polinom Fonksiyonlarda Ekstremum ve Kök Analizi

Merhaba arkadaşlar! Bu videoda türev yardımıyla bir polinom fonksiyonunun ekstremum noktalarını ve değişimini inceleyerek harika bir YKS sorusunu çözeceğiz.

Öncelikle bize verilen fonksiyonu yazalım. f x eşittir, x küp artı üç x kare eksi dokuz x artı m biçiminde üçüncü dereceden bir polinomdur.

Bu fonksiyonun artanlık, azalanlık durumunu ve yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle birinci türevini almalıyız.

Türevi aldığımızda, x küpün türevi üç x kare, üç x karenin türevi altı x ve eksi dokuz x in türevi eksi dokuz olur. Sabit sayı olan m'nin türevi ise sıfırdır.

Şimdi türevin köklerini bulmak için bu ifadeyi sıfıra eşitleyelim ve üç parantezine alalım.

Parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayırırsak, x artı üç çarpı x eksi bir elde ederiz. Buradan türevin kökleri eksi üç ve bir olarak bulunur.

Bulduğumuz bu köklerle f türevinin işaret tablosunu oluşturalım.

Türevin baş katsayısı pozitif olduğu için tablonun en sağından artı ile başlıyoruz. Her köke geldiğimizde işaret değiştirerek artı, eksi, artı dizilimini elde ederiz.

Tablodan net bir şekilde görüyoruz ki, fonksiyonumuz eksi üç ile bir kapalı aralığında azalandır. Yani üçüncü öncülümüz kesinlikle doğrudur.

Şimdi, fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini m türünden hesaplayalım.