Trigonometrische Funktionen und Kurvendiskussion
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3.5 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion verläuft durch den Tiefpunkt $T(0 | -4)$ und hat in $H(4 | 1)$ einen Hochpunkt.
Geben Sie zwei mögliche Funktionsterme an. (6 Punkte)
3.6 Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion $g$, ihrer Ableitungsfunktion $g'$ und einer Stammfunktion $G$ von $g$.
[Bilder A, B, C]
Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild C auf dem Intervall $[-2 ; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) zeigen unterschiedliche Funktionsgraphen. Graph A zeigt eine Funktion mit fallender Tendenz und lokalen Extrema. Graph B zeigt eine periodische Schwingung mit Amplituden zwischen ca. -3 und 3. Graph C zeigt ebenfalls eine periodische Schwingung mit geringerer Amplitude, etwa zwischen -2 und 1. Alle Graphen sind auf einem Gitter mit markierten Achsen von -3 bis 3 auf der x-Achse und -3 bis 3 auf der y-Achse dargestellt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Lassen Sie uns dieses Problem Schritt für Schritt lösen. Wir beginnen mit der Bestimmung, welcher Graph zur Funktion g, ihrer Ableitung g-Strich und ihrer Stammfunktion groß G gehört.
Teil 1: Zuordnung der Funktionen
Wir schauen uns zunächst das globale Verhalten an. Die Graphen B und C schwingen waagerecht hin und her. Graph A hingegen fällt insgesamt ab, hat also einen negativen linearen Trend.
1. Graph A fällt insgesamt ab (negativer linearer Trend).
Die Ableitung einer Funktion mit einem solchen Trend muss nach unten verschoben sein. Ihr Mittelwert ist also insgesamt negativ.
2. Die Ableitung von A muss daher um einen negativen Wert schwanken.
Vergleichen wir B und C. Graph B pendelt symmetrisch um die Null. Aber Graph C schwankt zwischen eins und minus zwei, hat also einen negativen Mittelwert.
3. Graph C schwankt zwischen $1$ und $-2$. Der Mittelwert ist negativ ($-0.5$).
Daraus folgern wir zwingend, dass Graph C die Ableitung von Graph A sein muss. A ist also die Stammfunktion groß G, und C ist klein g.
Nach dem Ausschlussprinzip ist der verbleibende Graph B die Ableitung g-Strich.
Wir können diese Zuordnung schnell überprüfen: Die Funktion g, also Graph C, hat bei x gleich null einen Tiefpunkt. Dort muss ihre Ableitung eine Nullstelle haben. Graph B geht exakt durch den Ursprung. Das passt perfekt!
4. Kontrolle: C hat einen Tiefpunkt bei $x=0$. B verläuft exakt durch $(0,0)$!
Damit ist die erste Teilaufgabe gelöst. Groß G ist A, klein g ist C und g-Strich ist B.
Nun zur zweiten Teilaufgabe. Wir sollen den Inhalt der Fläche bestimmen, die das Schaubild C auf dem Intervall von minus zwei bis zwei mit der Geraden y gleich eins einschließt.
Teil 2: Flächenberechnung
Schaubild C ist nach unserer Zuordnung die Funktion klein g. Da deren Hochpunkte genau auf der Höhe eins liegen, liegt die gesamte gesuchte Fläche unter der Geraden.
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