Analyse einer trigonometrischen Temperaturfunktion
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Die Temperatur (in $^\circ\text{C}$) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit $$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0;24].$$ Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen. Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
3.4 In welchem Zeitraum liegt die Temperatur oberhalb von $17,5^\circ\text{C}$? (2 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Temperaturentwicklung einer Felswand. Gegeben ist die Temperaturfunktion T von t als negative Kosinusfunktion.
Temperaturanalyse einer Felswand
Intervall: $t \in [0, 24]$ Stunden
Referenzzeit: $t=0$ entspricht 05:00 Uhr
Bestimmen wir zuerst, wann die Wand am kältesten und am wärmsten ist. Da die Amplitude 7 beträgt und die Funktion um 14 nach oben verschoben ist, schwankt die Temperatur zwischen 7 und 21 Grad Celsius.
Das Minimum tritt auf, wenn der Kosinus-Term den Wert 1 annimmt, da der Koeffizient negativ ist. Das geschieht bei t gleich null.
Bei t gleich null erhalten wir also 7 Grad Celsius. Da t gleich null 05 Uhr entspricht, ist es um 5 Uhr am kältesten.
Am kältesten ($7^\circ\text{C}$): $t=0 \implies$ 05:00 Uhr
Das Maximum tritt auf, wenn der Kosinus-Term minus eins ist. Das ist nach 12 Stunden der Fall, also bei t gleich 12.
Am wärmsten ($21^\circ\text{C}$): $t=12 \implies$ 17:00 Uhr (05:00 + 12h)
Jetzt suchen wir die Zeitpunkte, an denen sich die Temperatur am schnellsten ändert. Das ist an den Wendepunkten der Fall, also dort, wo die Ableitung maximal ist.
Schnellste Temperaturänderung
Die Sinusfunktion ist am größten bei einem Argument von Pi Halbe und am kleinsten bei 3 Pi Halbe. Das entspricht t gleich 6 und t gleich 18.
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