Analyse einer Sinusfunktion

In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Sinusfunktion f von x gleich drei mal Sinus von zwei x. Wir sollen die Achsen beschriften, einen speziellen Wendepunkt finden und die Gleichung der Tangente in diesem Punkt bestimmen.

Beginnen wir mit der Beschriftung der Achsen in Teilaufgabe 4 Punkt 1. Die allgemeine Form lautet a mal sinus von b mal x. Hier ist a gleich drei. Das bedeutet, die Amplitude der Funktion ist drei.

Da die Amplitude drei ist, schwingt der Graph zwischen plus drei und minus drei. Wir können also die y-Achse beschriften. Die Markierungen liegen bei eins, zwei und drei sowie entsprechend im negativen Bereich.

Nun zur x-Achse. Der Faktor b ist zwei. Die Periode P berechnet sich aus zwei Pi geteilt durch b, was hier zwei Pi durch zwei ergibt. Die Periode ist also genau Pi.

Da eine volle Schwingung nach Pi abgeschlossen ist, liegt die erste Nullstelle nach dem Ursprung bei Pi halbe. Die Markierung auf der x-Achse im Bild entspricht genau einer viertel Periode, also Pi viertel.

In Teilaufgabe 4 Punkt 2 suchen wir einen Wendepunkt mit negativer Steigung im Intervall von drei Pi viertel bis sieben Pi viertel.

Die Wendepunkte einer reinen Sinusfunktion liegen immer auf den Nullstellen. Wir berechnen f strich von x mit der Kettenregels zu sechs mal Cosinus von zwei x.

Die zweite Ableitung ist dann minus zwölf mal Sinus von zwei x. Für einen Wendepunkt muss diese Null sein.

Sinus von zwei x ist Null, wenn zwei x ein ganzzahliges Vielfaches von Pi ist. Also ist x gleich k mal Pi halbe.