Parameterbestimmung und Integration von Kosinusfunktionen
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Vom Schaubild $K_f$ der Funktion $f$ mit $f(x) = 2\cos(bx) + d$, $x \in \mathbb{R}$, ist bekannt, dass der Punkt $P(3|3)$ auf $K_f$ liegt.
3.4 Bestimmen Sie jeweils $b$ und $d$ so,
a) dass $K_f$ in $P$ einen Hochpunkt hat.
b) dass $K_f$ in $P$ einen Tiefpunkt hat. (4 Punkte)
Sei ab jetzt $b = \frac{\pi}{2}$ und $d = -1$
3.5 Bestimmen Sie die ersten beiden positiven Nullstellen von $f$. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die $K_f$ mit der $x$-Achse zwischen diesen beiden Nullstellen einschließt. (8 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Willkommen zu dieser Analysis-Aufgabe. Wir untersuchen eine trigonometrische Funktion und bestimmen Parameter sowie Nullstellen und Flächeninhalte.
Trigonometrische Funktionen analysieren
Gegeben ist die Funktion f von x gleich zwei mal Kosinus von b mal x plus d. Bekannt ist, dass der Punkt P mit den Koordinaten drei und drei auf dem Graphen liegt.
Schauen wir uns Aufgabenteil a an. Der Punkt P soll ein Hochpunkt des Graphen sein. Wir wissen, dass ein Kosinus-Graph dort ein Maximum hat, wo das Argument ein Vielfaches von zwei Pi ist.
Aufgabe 3.4 a) P(3|3) ist Hochpunkt
Da die Amplitude zwei ist, liegt der Hochpunkt bei d plus zwei. Da der Funktionswert im Punkt P gleich drei ist, muss also d plus zwei gleich drei sein.
Daraus folgt direkt, dass d gleich eins sein muss.
Nun zum Parameter b. Ein Kosinus-Maximum tritt zum Beispiel auf, wenn das Argument b mal x gleich null ist. Wir setzen also das Argument drei b gleich null.
Da b üblicherweise ungleich Null sein soll für eine Wellenbewegung, nehmen wir das nächste Maximum bei zwei Pi. Also drei b gleich zwei Pi.
Damit haben wir für einen Hochpunkt in P: b ist zwei Drittel Pi und d ist eins.
In Teil b soll P ein Tiefpunkt sein. Ein Tiefpunkt beim Kosinus liegt vor, wenn das Argument ein ungeradzahliges Vielfaches von Pi ist.
Aufgabe 3.4 b) P(3|3) ist Tiefpunkt
Der Wert am Tiefpunkt ist d minus zwei. Da f von drei gleich drei ist, gilt d minus zwei gleich drei.
Für die Lage des Tiefpunkts setzen wir das Argument drei b gleich Pi.
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