Temperaturmodellierung einer Felswand
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
3.4 In welchem Zeitraum liegt die Temperatur oberhalb von $17,5^{\circ}\text{C}$? (2 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Temperaturänderung einer Felswand über vierundzwanzig Stunden. Wir beginnen mit der gegebenen Temperaturfunktion.
Analyse der Temperaturfunktion
t \in [0, 24], \quad t=0 \hat{=} \text{05:30 Uhr}
Zuerst suchen wir das Temperaturmaximum und -minimum. Da es sich um eine Kosinusfunktion handelt, hängen diese von der Amplitude und dem Versatz ab.
Der Mittelwert liegt bei vierzehn Grad und die Amplitude ist sieben. Wir berechnen also das Minimum und Maximum direkt.
Wann treten diese Werte auf? Die Kosinusfunktion erreicht ihr Minimum bei Null, aber durch das Minuszeichen vor der Sieben wird dies zum Maximum der gesamten Funktion. Also ist die Temperatur bei t gleich null am höchsten.
T gleich null entspricht fünf Uhr dreißig Uhr morgens nach der Problemstellung.
Das Minimum erreichen wir, wenn der Kosinus eins ist. Das passiert bei t gleich zwölf, da der Kosinus von Pi minus eins ergibt.
Lassen Sie uns das korrigieren. Der Kosinus ist eins bei null, was wegen des negativen Vorzeichens zum Minimum führt. Das globale Minimum liegt bei Pi, also bei t gleich zwölf.
Entschuldigung, schauen wir uns die Vorzeichen genau an. Minus sieben mal minus eins ist plus sieben. Plus vierzehn ist einundzwanzig. Also haben wir Maxima bei t gleich null und t gleich vierundzwanzig.
Lassen Sie uns das sauber aufschreiben. Der Kosinus ist maximal eins bei t gleich null. Wegen des Minuszeichens vor der Sieben ist das die minimale Temperatur.
Extremwerte
Das Minimum von sieben Grad Celsius tritt also um fünf Uhr dreißig morgens auf.
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