Trigonometrik Sıralama Sorusu

Question

28. $x, y, z \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} ight)$ olmak üzere
$\sin(x + y) < \sin(y + z)$
$	an(x + z) > 	an(x + y)$
eşitsizlikleri veriliyor.
$a = \cos(x - y)$
$b = \cot(x - z)$
$c = \sin(y - z)$
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) $a < b < c$ 
B) $b < c < a$ 
C) $c < a < b$ 
D) $a < c < b$ 
E) $c < b < a$

Solvi · Accepted Answer

Selam Helinakhal, bu trigonometri sıralama sorusunu adım adım birlikte çözelim. Öncelikle değişkenlerimizin hangi aralıkta olduğuna bakalım. x, y ve z pi bölü dört ile pi bölü iki arasındalar. Bu durumda, bu değişkenlerin ikişerli toplamları doksan ile yüz seksen derece arasında kalacaktır. Yani bu toplamlar birim çemberin ikinci bölgesindedir. Şimdi verilen eşitsizlikleri bu bilgiyle inceleyelim. İlk eşitsizliğimiz sinüs x artı y küçüktür sinüs y artı z şeklinde verilmiş. İkinci bölgede, yani doksan ile yüz seksen derece arasında, açı büyüdükçe sinüs değeri azalır. Yani sinüs azalan bir fonksiyondur. Değer küçüldüğüne göre, açı büyümüş olmalı. Dolayısıyla x artı y, y artı z'den büyüktür. Her iki taraftan y değerlerini sadeleştirirsek, x'in z'den büyük olduğu sonucuna ulaşırız. Şimdi ikinci eşitsizliğe geçelim: tanjant x artı z büyüktür tanjant x artı y. Yine ikinci bölgedeyiz. Tanjant fonksiyonu bu bölgede negatif değerler alır ama açı büyüdükçe sıfıra yaklaşarak artar. Fonksiyon artan olduğu için, büyük değer büyük açıya karşılık gelir. Yani x artı z, x artı y'den büyüktür. Buradan da x'leri sadeleştirdiğimizde z'nin y'den büyük olduğunu görürüz.

Trigonometrik Sıralama Sorusu

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm