Trigonometrik Denklemlerin Kök Sayısı

Merhaba! Bir trigonometri sorusuyla karşı karşıyayız. Verilen denklemi sıfır ile iki pi aralığında sağlayan kaç farklı kök olduğunu bulacağız.

Denklemi düzenleyerek başlayalım. İçler dışlar çarpımı yaparsak kosinüs x eksi sinüs x eşittir kosinüs iki x olur.

Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs iki x ifadesini, iki kare farkı açılımını yakalamak için kosinüs kare x eksi sinüs kare x şeklinde yazalım.

Sağ taraftaki iki kare farkı ifadesini çarpanlarına ayıralım. Bu ifade kosinüs x eksi sinüs x çarpı kosinüs x artı sinüs x'e eşittir.

Şimdi her iki tarafta da ortak olan kosinüs x eksi sinüs x terimini görüyoruz. Ancak sadeleştirme yaparken bu terimin sıfır olma durumunu unutmamalıyız.

İlk durum olarak, ortak çarpanı sıfıra eşitleyelim. Kosinüs x eksi sinüs x eşittir sıfır ise kosinüs x eşittir sinüs x olur.

Bu eşitlik bölü dört, yani kırk beş derecede ve beş pi bölü dört, yani iki yüz yirmi beş derecede sağlanır.

Ancak dikkatli olmalıyız! Orijinal denklemde paydada kosinüs iki x var. Eğer payda sıfır olursa ifade tanımsız kalır. x eşittir pi bölü dört için kosinüs iki x, kosinüs doksandır ve o da sıfıra eşittir. Bu yüzden bu kökleri alamayız.

Şimdi ikinci duruma bakalım. Eğer bu çarpanlar sıfırdan farklıysa, onları sadeleştirebiliriz. Bu durumda geriye bir eşittir kosinüs x artı sinüs x kalır.