Trigonometrik Denklem

Selamlar. Bugün trigonometrik bir denklem sorusunu adım adım çözeceğiz. Soruda verilen ifadeyi basitleştirip sıfırla pi aralığındaki kökleri bulacağız.

İşleme pay ve paydadaki ifadeleri ayrı ayrı inceleyerek başlayalım. Önce pay kısmındaki sinüs üzeri altı artı kosinüs üzeri altı x ifadesini ele alalım.

Bu ifadeyi küpler toplamı formülü gibi düşünebiliriz. A küp artı B küp açılımından faydalanırsak, ifade bir eksi üç çarpı sin kare x çarpı kos kare x şeklinde yazılabilir.

Yarım açı formüllerini hatırlayalım. Sinüs iki x, iki çarpı sinüs x çarpı kosinüs x'e eşittir. Bu durumda sinüs x çarpı kosinüs x ifadesi sinüs iki x bölü iki olur.

Bunu karelerini alarak ana ifademize yerleştirirsek, pay kısmını bir eksi üç bölü dört çarpı sinüs kare iki x olarak buluruz.

Şimdi payda kısmındaki sinüs x artı kosinüs x'in karesini açalım.

Tam kare açılımı yaparsak sin kare x artı kos kare x artı iki sin x kos x elde ederiz. Sin kare artı kos kare toplamının bir olduğunu biliyoruz.

İki sin x kos x ifadesi ise doğrudan sinüs iki x'e eşittir. Yani paydamız bir artı sinüs iki x oldu.

Şimdi bulduğumuz bu yeni pay ve payda değerlerini orijinal denklemde yerine koyalım.

İşlemimizi kolaylaştırmak için sinüs iki x ifadesine sembolik olarak u diyelim.

Denklemimiz bir eksi üç u kare bölü dört, bölü bir artı u eşittir on üç bölü yirmi dört halini alır.

Paydaki rasyonel ifadeyi düzenlemek için her iki tarafı yirmi dört ile çarpalım. Altı çarpı parantez içinde dört eksi üç u kare eşittir on üç artı on üç u olur.