Trigonometric Function Optimization

Merhaba Tuna, seninle birlikte bu trigonometri sorusunu çözelim. Sorumuzda bir fonksiyonun en küçük olduğu x değerini bulup, başka bir trigonometrik ifadenin sonucuna ulaşmamız isteniyor.

Öncelikle f x fonksiyonuna odaklanalım. Sinüs x artı kosinüs x artı sinüs iki x olarak verilmiş.

İfadeyi daha kolay analiz etmek için sin x artı cos x toplamına u diyelim. Her iki yanın karesini alırsak sinüs 2 x ifadesini u cinsinden bulabiliriz.

İki tarafın karesini alalım. Birincinin karesi artı çarpımlarının iki katı artı ikincinin karesi.

Bu da u kare eşittir sin kare x artı 2 sin x cos x artı cos kare x demektir.

Biliyoruz ki sin kare x artı cos kare x birdir. Ayrıca 2 sin x cos x ifadesi de sin 2 x e eşittir.

O halde sin 2 x eşittir u kare eksi bir olur.

Şimdi f fonksiyonunu u değişkenine bağlı olarak yazalım. f u eşittir u artı parantez içinde u kare eksi bir.

Burada u nun yani sin x artı cos x ifadesinin alabileceği değerler eksi kök 2 ile kök 2 arasındadır.

Şimdi elimizdeki f u fonksiyonu u kare artı u eksi bir. Bu bir parabol belirtir ve en küçük değerini tepe noktasında alır.

Tepe noktasının apsisi olan r değerini bulalım. Formülümüz eksi b bölü 2 a dır.

Eksi bir bölü iki değeri u nun tanım aralığında mıdır? Evet, eksi kök iki yaklaşık eksi bir virgül dört olduğu için eksi sıfır virgül beş bu aralıktadır.

Demek ki fonksiyonu en küçük yapan u değeri eksi bir bölü ikidir. u dediğimiz şey sin x artı cos x idi.

Yeni bir sayfaya geçelim ve hedefimizi hatırlayalım. Bizden istenen tan x artı cot x artı cos 4 x ifadesinin değeridir.