Temperaturverlauf einer Felswand
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die dazugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Temperaturänderungen an einer Felswand. Wir haben eine Kosinusfunktion gegeben und suchen nach den Extrempunkten sowie den Zeitpunkten der schnellsten Änderung.
Analyse der Temperaturfunktion
Zuerst betrachten wir die Definitionsmenge von t von null bis vierundzwanzig, wobei t gleich null fünf Uhr morgens bedeutet.
Bestimmen wir zunächst das Maximum und Minimum der Temperatur. Da der Kosinus Werte zwischen minus eins und eins annimmt, liegt der Wertebereich von T zwischen minus sieben mal eins plus vierzehn und minus sieben mal minus eins plus vierzehn.
1. Extremwerte
Die minimalen Temperatur tritt auf, wenn der Kosinuswert eins ist. Dann erhalten wir minus sieben plus vierzehn gleich sieben Grad Celsius.
Die maximale Temperatur tritt auf, wenn der Kosinuswert minus eins ist. Das ergibt sieben plus vierzehn gleich einundzwanzig Grad Celsius.
Wann erreichen wir diese Temperaturen? Die kälteste Temperatur von sieben Grad wird erreicht, wenn der Ausdruck in der Klammer ein Vielfaches von zwei Pi ist.
Zeitpunkt der kältesten Temperatur
Für t gleich null ist die Bedingung erfüllt. Da t gleich null fünf Uhr morgens entspricht, ist der Fels um fünf Uhr am kältesten.
Nach vierundzwanzig Stunden, also wieder um fünf Uhr morgens am nächsten Tag, wiederholt sich dieser Wert.
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