Temperaturverlauf einer Felswand
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Temperaturverlauf einer Felswand. Gegeben ist die Funktion T von t, wobei t die Zeit in Stunden darstellt, startend um 5 Uhr morgens.
Temperaturverlauf einer Felswand
Zuerst bestimmen wir die Höchst- und Tiefsttemperaturen. Da die Kosinusfunktion Werte zwischen minus eins und eins annimmt, können wir die Extremwerte direkt ablesen.
Der niedrigste Wert von T tritt ein, wenn der Kosinus-Term eins ist, da er mit minus sieben multipliziert wird.
Dies geschieht, wenn das Argument des Kosinus null ist. Also t gleich null.
Da t gleich null der Uhrzeit 5 Uhr entspricht, ist der Fels um 5 Uhr am kältesten.
Der höchste Wert tritt ein, wenn der Kosinus minus eins ist.
Das passiert, wenn das Argument pi ist. Lösen wir nach t auf, erhalten wir t gleich zwölf.
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