Temperaturverlauf einer Felswand
Veröffentlicht:
Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen. Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
3.4 In welchem Zeitraum liegt die Temperatur oberhalb von $17,5^{\circ}\text{C}$? (2 Punkte)
3.5 Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}, \, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Temperatur einer Felswand über einen Zeitraum von vierundzwanzig Stunden. Die Funktion T beschreibt die Temperatur in Grad Celsius in Abhängigkeit von der Zeit t in Stunden.
Temperaturanalyse einer Felswand
Wir wissen, dass t gleich null der Uhrzeit fünf Uhr dreißig entspricht. Das ist wichtig für die spätere Umrechnung.
Zuerst suchen wir die Zeitpunkte mit der höchsten und niedrigsten Temperatur. Da es sich um eine Kosinusfunktion handelt, wissen wir, dass der Kosinus Werte zwischen minus eins und eins annimmt.
1. Maxima und Minima
Die minimale Temperatur tritt auf, wenn der Kosinus-Teil eins ist, da wir einen negativen Koeffizienten haben.
Dies passiert, wenn das Argument des Kosinus null oder zwei Pi ist. Für t gleich null erhalten wir also das Minimum um fünf Uhr dreißig.
Die maximale Temperatur erreichen wir, wenn der Kosinus minus eins ist.
Zwölf Stunden nach fünf Uhr dreißig ist es siebzehn Uhr dreißig.
Nun zur Frage: Wann ändert sich die Temperatur am schnellsten? Das ist der Fall, wenn die Steigung, also die erste Ableitung, maximal ist.
2. Maximale Temperaturänderung
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
8 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
