Temperaturverlauf einer Felswand
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit $$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir die Temperaturentwicklung einer Felswand über 24 Stunden. Wir suchen die Zeitpunkte für die extremen Temperaturen und die maximale Änderungsrate.
Temperaturanalyse einer Felswand
Dabei ist kleine t die Zeit in Stunden seit 5 Uhr morgens. Die Funktion basiert auf einer Kosinuskurve mit einer Verschiebung und einer Amplitude.
Gegeben: $t=0$ entspricht 5:00 Uhr, $t \in [0 ; 24]$
Zuerst suchen wir das Temperaturmaximum und -minimum. Da die Kosinusfunktion zwischen minus eins und eins schwankt, können wir die Extremwerte direkt ablesen.
1. Extremwerte (Wärmster/Kältester Punkt)
Die Temperatur ist am kältesten, wenn der Kosinus-Term eins ist, da wir eine negative Amplitude haben.
Dies geschieht, wenn das Argument des Kosinus null oder zwei pi ist. Für t gleich null erhalten wir fünf Uhr morgens.
Am wärmsten ist es, wenn der Kosinus minus eins ist, was die Temperatur auf 21 Grad bringt.
Das passiert, wenn das Argument pi ist. Lösen wir nach t auf, erhalten wir zwölf Stunden nach dem Start.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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