Temperaturmodellierung einer Felswand
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Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left( \frac{\pi}{12} \cdot t \right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir den Temperaturverlauf einer Felswand über vierundzwanzig Stunden. Wir suchen die Zeitpunkte für das Temperaturmaximum und -minimum sowie die Zeiten der schnellsten Änderung.
Temperaturverlauf einer Felswand
Die Temperaturfunktion lautet T von t gleich minus sieben mal Kosinus von pi zwölftel mal t plus vierzehn. Beachte: t gleich null entspricht fünf Uhr morgens.
t = 0 \rightarrow 5:00\text{ Uhr}
Teil eins fragt nach der wärmsten und kältesten Temperatur. Da der Kosinus Werte zwischen minus eins und eins annimmt, können wir die Extremwerte direkt ablesen.
Die kälteste Temperatur tritt auf, wenn der Kosinus-Term gleich eins ist, da davor ein negatives Vorzeichen steht.
Extremtemperaturen
Dies geschieht, wenn das Argument des Kosinus null ist. Also pi zwölftel mal t gleich null, was t gleich null ergibt.
Da t gleich null fünf Uhr morgens entspricht, ist der Fels um fünf Uhr am kältesten.
Die wärmste Temperatur erreichen wir, wenn der Kosinus gleich minus eins ist.
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