Tek Fonksiyon ve Limit Özellikleri
Yayınlanma:
Gerçel sayıların bir alt kümesinde tanımlı olan f fonksiyonu için
- Pozitif gerçel köklerinin sayısı ikidir.
- $\lim_{x \to 0^+} f(x)$, pozitif gerçel sayıdır.
- Tek fonksiyondur.
bilgileri veriliyor.
Buna göre
I. Gerçel köklerinden oluşan kümenin eleman sayısı beştir.
II. $\lim_{x \to 0} |f(x)| = \lim_{x \to 0} f(|x|)$
III. $m > 0$ olmak üzere
$\lim_{x \to (m^+)} f(x) + \lim_{x \to (-m)^-} f(x) = f(m) + f(-m)$ ise f, $x = m$ apsisli noktada süreklidir.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba, bu soru limit ve süreklilik konularını tek fonksiyon bilgisiyle harmanlayan çok şık bir AYT sorusu. Gelin verilen özellikleri satır satır çözümleyelim.
Verilenler ve Analiz
İlk olarak, fonksiyonun tek fonksiyon olduğu söylenmiş. Bu, f içine yazılan eksiyi dışarı atar demek. Ayrıca fonksiyonun orijine göre simetrik olduğunu da bize söyler.
Pozitif iki gerçel kökü varmış. Bu köklere r bir ve r iki diyelim. Fonksiyon tek olduğu için, eğer r bir kökse, eksi r bir de köktür.
Gördüğünüz gibi özellikler sayesinde doğrudan 4 tane farklı kök elde ettik.
Son olarak sıfıra sağdan giderken f'in limitinin pozitif bir gerçel sayı olduğu verilmiş. Hesaplamaları kolaylaştırmak için bu limit değerine L diyelim.
Şimdi birinci öncülü inceleyebiliriz. Acaba fonksiyonun tam beş tane mi gerçel kökü var?
I. Öncül
Elimizde iki pozitif, iki negatif olmak üzere toplam dört kök olduğunu az önce bulmuştuk.
Eğer x eşittir sıfır tanım kümesinde olsaydı, tek fonksiyon özelliğinden f sıfır eksi f sıfıra eşit olacaktı, bu da f sıfırı sıfır yapardı. Yani beşinci kök sıfır olurdu.
Ancak sorunun başında yer alan 'gerçel sayıların bir alt kümesinde tanımlı' ifadesine dikkat edin. Fonksiyon x eşittir sıfır noktasında tanımlı olmak zorunda değil!
Örneğin tanım kümesi sıfır hariç tüm gerçel sayılar olabilir. Bu durumda sadece 4 kökü bulunur. Bu yüzden birinci öncül kesinlikle doğru diyemeyiz.
❌ Kesin doğru değildir.
Gelelim ikinci öncüle. Burada mutlak değerli iki limit ifadesinin eşitliği soruluyor.
II. Öncül
Önce sol taraftaki limiti inceleyelim. Sıfıra sağdan yaklaştığımızda limitin L olduğunu biliyoruz. Soldan yaklaştığımızda ise simetriden dolayı limit eksi L'ye gidecektir.
Mutlak değer aldığımızda, sağ limit de mutlak eksi L olan sol limit de pozitif L büyüklüğüne eşit çıkar, çünkü L zaten pozitifti.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
