Fonksiyon ve Limit Sorusu

Merhaba Elif! Seninle birlikte limit ve fonksiyonların bir arada olduğu çok güzel bir AYT sorusunu adım adım çözeceğiz.

Öncelikle bize verilen doğrusal f x eşittir a x artı b fonksiyonunun tersini bulalım.

Bir doğrusal fonksiyonun tersini bulmak için y eşittir a x artı b denkleminden x'i çekeriz. Buradan f'in tersi, x eksi b bölü a olarak bulunur.

Şimdi bize verilen limit ifadesini yazarak f x ile f'in tersi olan fonksiyonları yerine koyalım.

Fonksiyonlarımızı yerine yerleştirdiğimizde, limit x b'ye giderken a x artı b bölü, x eksi b bölü a ifadesini elde ederiz.

Paydadaki bölü a ifadesini ters çevirip yukarıya katsayı olarak çarparsak, limit ifadesi pay kısmında a çarpı, a x artı b bölü, paydada x eksi b şekline dönüşür.

Şimdi bu limit ifadesini analiz edelim. Dikkat edersen x değeri b'ye yaklaşırken paydadaki x eksi b ifadesi sıfıra yaklaşır.

Payda sıfıra giderken bu limitin c gibi bir gerçel sayı çıkabilmesi için, sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşmalıdır. Yani limit x b'ye giderken pay kısmı da sıfır olmalıdır.

Soruda a'nın sıfırdan farklı olduğu belirtilmiş. O halde a x artı b ifadesi x b'ye giderken sıfır olmalı, yani a b artı b sıfıra eşit olmalıdır.

Bu ifadeyi b ortak parantezine aldığımızda b çarpı, a artı bir eşittir sıfır sonucuna ulaşırız. Bu çarpımın sıfır olması için iki farklı durum mümkündür.

İlk durumumuzu inceleyelim: b eşittir sıfır olsun.

Eğer b sıfır ise, f x fonksiyonumuz a x şeklindedir. Soruda bize f birin üçe eşit olduğu bilgisi verilmişti.