Tek Fonksiyon ve Belirli İntegral Sorusu

Selam gençler! AYT tarzı, integralde değişken değiştirme ve fonksiyon simetrisi içeren güzel bir soruyla beraberiz.

Soruda f fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetrik olduğu söylenmiş. Bu bilgi, f'nin bir tek fonksiyon olduğu anlamına gelir. Yani f eksi x eşittir eksi f x olur.

Şimdi bize verilen ilk integral eşitliğini inceleyelim. Eksi birden bire, x kare çarpı f içinde x küp artı bir de x, altıya eşitmiş.

Burada f'nin içindeki ifadeye, yani x küp artı bire u diyerek değişken değiştirelim.

Her iki tarafın türevini aldığımızda, de u eşittir üç x kare de x olur. Buradan x kare de x'i yalnız bırakırsak de u bölü üç elde ederiz.

Sınırları da değiştirelim. x eşittir eksi bir için, u eşittir eksi birin küpü artı birden sıfır olur.

x eşittir bir için ise, u eşittir birin küpü artı birden iki olur.

Şimdi değişkenleri yerine yazalım. İntegralimiz sıfırdan ikiye, f u çarpı de u bölü üç halini alır. Bu ifade altıya eşitmiş.

İçler dışlar çarpımı yaparsak, sıfırdan ikiye f u de u integralinin değerini on sekiz olarak buluruz. Bu çok önemli bir bilgi, kenarda dursun.

Şimdi bizden istenen integrale bakalım. Eksi sekizden sıfıra, iki artı f içinde küp kök x bölü küp kök x kare de x.

Bu integrali iki ayrı parça olarak yazabiliriz.

İlk kısım oldukça basit. İkinin integrali iki x'tir. Sınırlar ise eksi sekizden sıfıra.