Tanımlı fonksiyonlar ve olasılık sorusu

Selamlar! Bugün küme teorisi ve olasılığı birleştiren, tam da AYT tadında bir soruyla beraberiz. Soru bizden, belirli özellikleri sağlayan bir fonksiyonun seçilme olasılığını istiyor.

Önce A kümesini bir inceleyelim. Kümemiz sıfır, iki, üç, dört, sekiz ve dokuz elemanlarından oluşuyor. Toplam altı elemanımız var. Fonksiyonun A kümesinde tanımlı olması, tanım ve değer kümelerinin ikisinin de A olduğu anlamına gelir.

Olasılık hesaplarken paydamız, yani tüm durumlarımız, soruda verilen 'bilindiğine göre' kısmıdır. Fonksiyonun birebir olduğu ve f üçün dörde eşit olmadığı biliniyormuş.

Kümeyi tekrar yazalım ve üç elemanının gidebileceği yerleri düşünelim. Birebir bir fonksiyonda, üç elemanı dört hariç diğer beş elemandan herhangi birine gidebilir.

Üçün gittiği yeri belirledikten sonra, geriye kalan beş elemanı, boşta kalan beş farklı değerle birebir eşlemeliyiz. Bu da beş faktöriyel durum demektir.

Şimdi istenen duruma bakalım. f dokuz küçüktür f dört, o da küçüktür f sıfır sıralaması istenirken, fonksiyonun hala birebir olması ve f üçün dörde eşit olmaması gerekiyor.

Bu şartı sağlayan durumları saymak için şöyle bir strateji izleyelim: Önce altı eleman arasından herhangi dört eleman seçelim. Bu seçimlerin sayısını sekizli kombinasyonla buluruz. Hayır, yanlış söyledim, altın dörtlü kombinasyonu ile buluruz.

Seçtiğimiz bu dört eleman kümesinden bir tanesi f üçe, diğer üçü ise sıralı bir şekilde f dokuz, f dört ve f sıfıra gidecek.

Eğer seçtiğimiz bu dörtlü kümede 'dört' elemanı yoksa, f üç kalan dört yerden birine, diğer üçü ise tek bir şekilde sıralamaya gider. Ama burada f üçün dörde eşit olmama şartını kontrol etmek biraz karışık olabilir. Gelin daha basit bir yol izleyelim.