Tam Sayılarda Tek-Çiftlik Analizi

Selamlar! Bugün tam sayılar ve teklik çiftlik özellikleri üzerine güzel bir soru çözeceğiz. Soruda a ve b tam sayılar olarak verilmiş.

Elimizdeki ilk ipucuna bakalım. İki çarpı a üzeri b artı iki çarpı b üzeri a ifadesinin tek olduğu söylenmiş.

Matematikte herhangi bir sayıyı iki ile çarptığımızda, eğer o sayı bir tam sayı ise sonuç her zaman çift olur.

Ancak burada sonuç tek çıkmış. Bu nasıl mümkün olabilir? Bir toplamın sonucunun tek olması için, terimlerden birinin tam sayı olmaması yani sonucun kesirli bir sayı olması gerekir.

Eğer a ve b pozitif tam sayılar olsaydı, iki a üzeri b ve iki b üzeri a ifadeleri çift tam sayılar olurdu. Çift artı çift ise çift olurdu. Oysa sonucun tek olması isteniyor.

İkinci bilgimiz a çarpı b'nin sıfırdan büyük olduğu. Yani a ve b aynı işaretli. Ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif.

İkisinin de pozitif olması durumunu az önce eledik çünkü toplam çift olurdu. Demek ki hem a hem de b negatif tam sayılardır.

Şimdi bir örnekle durumu somutlaştıralım. Diyelim ki a eksi bir, b de eksi bir olsun. Bu durumda a çarpı b birdir ve sıfırdan büyüktür.

Denklemde yerine yazalım. İki çarpı eksi bir üzeri eksi bir, artı iki çarpı eksi bir üzeri eksi bir.

Eksi birin eksi birinci kuvveti eksi birdir. Yani iki çarpı eksi bir artı iki çarpı eksi bir, eksi dört yapar. Bu çifttir, tek değildir. Demek ki a ve b'den biri eksi birden farklı olmalı.