Tam Sayılarda Denklemi Sağlayan İkililer

Merhaba Zekiye, seninle birlikte bu güzel YKS sorusunu adım adım çözelim. Sorumuzda x ve y tam sayılarının x artı y sıfırdan farklı olmak üzere verilen bir denklemi sağladığı belirtilmiş. Bizden bu denklemi sağlayan kaç farklı x y sıralı ikilisi olduğunu bulmamız isteniyor.

İlk olarak verilen denklemi daha düzenli bir hale getirelim. Denklemin sol tarafında bulunan rasyonel ifadeyi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyeceğiz.

Burada paydadaki x artı y ifadesini karşı tarafa çarpım olarak atarsak, x kare artı y kare eşittir on çarpı x artı y elde ederiz.

Şimdi sağ taraftaki on sayısını parantezin içine dağıtalım. Denklemimiz x kare artı y kare eşittir on x artı on y biçimine gelir.

Tüm terimleri sol tarafa toplayarak sağ tarafı sıfıra eşitleyelim. Böylece x kare eksi on x, artı y kare eksi on y eşittir sıfır denklemini elde ederiz.

Harika, şimdi bu denklemi çözmek için tam kareye tamamlama yöntemini kullanalım. Elde ettiğimiz ifadeyi buraya tekrar yazıyorum.

İlk olarak x kare eksi on x terimini düşünelim. Bunu bir tam kareye dönüştürmek için x eksi beşin karesini yazabiliriz. Ancak bu açılımdan artı yirmi beş geleceği için, dengelenmesi adına yirmi beş çıkarmamız gerekir.

Aynı mantığı y kare eksi on y terimi için de uygulayalım. Bu terim yerine de y eksi beşin karesi eksi yirmi beş yazabiliriz.

Denklemdeki eksi yirmi beş ve eksi yirmi beş sayılarını toplarsak eksi elli yapar. Bu eksi elliyi karşı tarafa artı elli olarak geçirelim.

Şimdi denklemi daha basit bir formda inceleyebilmek için değişken değiştirelim.

x eksi beşe u, y eksi beşe ise v diyelim. x ve y tam sayılar olduğu için u ve v de birer tam sayı olacaktır. Bu durumda yeni denklemimiz u kare artı v kare eşittir elli olur.

Peki, soruda bize verilen kısıtlamayı u ve v cinsinden nasıl ifade edebiliriz? Bize x artı y toplamının sıfırdan farklı olması gerektiği söylenmişti.

x yerine u artı beş ve y yerine v artı beş yazdığımızda, x artı y toplamı u artı v artı on haline gelir. Dolayısıyla, u artı v artı on toplamı sıfırdan farklı olmalıdır. Buradan u artı v'nin eksi on olamayacağını buluruz.