Tam Kare Sayı Tanımlı Denklem Problemi

Merhaba Ayşe, seninle birlikte bu güzel TYT tarzı sayı teorisi sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak daire içindeki x sembolünün ne anlama geldiğini anlayalım.

Soruda verilen tanıma göre, daire içindeki bir x sayısı, x'e eşit veya x'ten büyük olan en küçük tam kare sayıya eşittir.

Verilen örnekleri inceleyelim. Örneğin, otuz dört için en yakın ve otuz dörtten büyük olan ilk tam kare sayı otuz altıdır, yani altının karesidir.

Kırk dokuz ise zaten kendisi bir tam kare sayı olduğu için direkt kendisine, yani kırk dokuza eşit olur.

Şimdi bize verilen eşitliği ele alalım. Daire içinde n, daire içinde n artı beşe eşit olarak verilmiş. Bu ortak değere k'nin karesi diyelim.

Eğer daire içinde n değeri k'nin karesine eşitse, bu durum n sayısının bir önceki tam kare olan k eksi birin karesinden büyük, ama k'nin karesinden küçük veya eşit olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, n artı beş için de daire içindeki değer k'nin karesi olduğundan, n artı beş sayısı da bir önceki tam kare olan k eksi birin karesinden büyük ve k'nin karesinden küçük veya eşit olmalıdır.

Bu iki eşitsizliği birleştirelim. n sayısı zaten n artı beşten küçük olduğu için, alt sınırımız n'in k eksi birin karesinden büyük olmasıdır. Üst sınırımız ise n artı beşin k'nin karesinden küçük veya eşit olması, yani n'in k kare eksi beşten küçük veya eşit olmasıdır.

Elde ettiğimiz bu birleşik eşitsizlikte, n doğal sayısının var olabilmesi için sol taraftaki alt sınırın, sağ taraftaki üst sınırdan kesinlikle küçük olması gerekir.