Tam Kare Fonksiyon ve Türev Değeri

Herkese merhaba! Bu sorumuzda dördüncü dereceden bir polinom fonksiyonun bir tam kare olduğu verilmiş ve bir türev değeri soruluyor.

Öncelikle fonksiyona bir göz atalım. ef x eşittir; x üzeri dört, eksi iki x küp, artı üç x kare, eksi a x, artı bir.

Dördüncü dereceden bir ifadenin tam kare olabilmesi için, ikinci dereceden üç terimli bir polinomun karesine eşit olması gerekir. Genel formda bu şekilde yazabiliriz.

Şimdi bu ifadeyi açalım. Üç terimli ifadenin karesi kurallarından yararlanarak ifademizin genişletilmiş halini yazıyoruz.

Aynı dereceden terimleri ortak paranteze alıp düzenleyelim. İşlem kolaylığı için polinomun son genişletilmiş formu bu şekilde olacaktır.

Şimdi elde ettiğimiz bu tam kareyi soruda verilen ef x fonksiyonuna eşitlemeliyiz ki bilinmeyen katsayıları bulabilelim.

Eşitliğin iki tarafındaki eş dereceli terimleri eşitleyelim. Üçüncü dereceden yani x küplü terimler için, iki p eşittir eksi iki olur, yani p katsayısı eksi birdir.

Sabit terimlere baktığımızda q karenin bire eşit olduğunu görüyoruz. Buradan q bir veya eksi bir olabilir.

Hangi q değerini seçeceğimizi x kareli terimin katsayısına bakarak netleştireceğiz. Sol tarafta katsayı üç, sağ tarafta ise p kare artı iki q.

p yerine eksi bir yazarsak bir artı iki q eşittir üç olur. Buradan iki q eşittir iki ve sonucunda q kesinlikle bir olmalıdır.