Süreksizlik Noktalarının Apsisleri Toplamı
Yayınlanma:
BECERİ TEMELLİ SORU 7
Aşağıda $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
[Grafik tasviri: Koordinat eksenleri üzerinde $x$ değerlerine bağlı $f(x)$ eğrisi; $x=-2, x=2, x=4$ noktalarında süreksizlikler içermektedir]
Gerçel sayılardan gerçel sayılara $g(x)$ fonksiyonu
$$g(x) = \begin{cases} -1, & f(x) < 0 \text{ ise} \\ 0, & f(x) = 0 \text{ ise} \\ 1, & f(x) > 0 \text{ ise} \end{cases}$$
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik $x=-3$ ile $x=4$ aralığında tanımlıdır. $x=-2$'de bir kesinti vardır ($y=1$ boş daire, $y=-1$ dolu daire). Grafiğin $x=2$ noktasında $y=1$ değeri için boş bir daire, $y=-1$ değeri için dolu bir daire vardır. $x=4$ noktasında $y=1$ değeri dolu daire, $y=-1$ değeri boş dairedir. Grafik orijinden ve $x=3$ noktasından geçmektedir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Asya, bu soruda verilen f fonksiyonu grafiği üzerinden g fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları birlikte bulalım.
G fonksiyonuna baktığımızda, f'in işaretine göre üç farklı değer aldığını görüyoruz. Bu tür parçalı fonksiyonlar genellikle kritik noktalarda, yani kuralın değiştiği yerlerde süreksizdir.
g(x) Fonksiyonu İncelemesi
g fonksiyonunun değeri f sıfırdan küçükken eksi bir, sıfırken sıfır ve sıfırdan büyükken artı birdir. Bu durum, f'in işaret değiştirdiği veya sıfır olduğu noktalarda süreksizlik olabileceğini gösterir.
Grafiğe geri dönelim. f fonksiyonunun x eksenini kestiği veya teğet geçtiği noktalar kritik noktalardır.
Kritik Noktaları Belirleyelim
İlk olarak x eşittir eksi üç noktasına bakalım. Burada f sıfıra eşittir. Eksi üçün solunda f negatif, sağında ise pozitif değerler alıyor.
Bu noktanın sol limitine bakarsak g eksi bir olur, sağ limitine bakarsak artı bir olur. Limitler farklı olduğu için x eşittir eksi üçte süreksizlik vardır.
Şimdi x eşittir eksi iki noktasına bakalım. Burada f fonksiyonunun kendisi süreksiz. Soldan gelirken f pozitif, sağdan gelirken ise f negatif değer alıyor.
Grafikte eksi iki noktasında f tanımsız görünüyor. g fonksiyonu f tam sıfırken sıfır değerini alıyor, ancak limitleri f'in işaretine bağlı. f burada artıdan eksiye zıpladığı için g de birden eksi bire zıplar. Bu yüzden eksi iki de bir süreksizlik noktasıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
